試題及答案，如附件。

計算題：
（資料來源：http://www.ptt.cc/bbs/studyteacher/M.1367072177.A.40A.html ）

1.平面上有三定點ABC及一圓，其圓心為O點，半徑為r，
  若AOBC為平行四邊形，其中直線AB與圓不相交，若圓
  上有一點P，使得(線段PA)^2+(線段PB)^2為最小時，
  (1)試證：P點為OC與圓的交點
  (2)試利用OA、OB、OC、r來表示(線段PA)^2+(線段PB)^2的最小值


2.橢圓的焦點為AC兩點、橢圓上有BD兩點
  其中四邊形ABCD的四個邊長乘積為2013
  且BAD=60度，BCD=120度，求ABCD面積

第 11 題：（應該可以看得出來題目中的 f(ab) 就是用最小平方法求迴歸直線時的「殘差平方和」）

五個數據 (xiyi)為(2861)(2962)(3060)(3158)(3259) 以最小平方法所得之迴歸直線 y=a+bx

此迴歸直線必通過 (xy)=(3060)

且斜率為 5i=1xi−x25i=1xi−xyi−y=22+12+02+12+22(−2)1+(−1)2+00+1(−2)+2(−1)=5−4

因此，此迴歸直線方程式為 y−60=5−4x−30 

y=84−54

(ab)=(84−54)




註：另外一個求迴歸直線 a+bx=y 的公式 ni=11a+ni=1xib=yini=11xia+ni=1xixib=yixi  如下篇回覆被寸絲給解走了～ＸＤＤ

第 5 題：

因為 xyz 的最小公倍數為 360，

所以可以知道 xyz 三數皆頂多為三位數，

因此 a 的可能值個數 與有序數組 (xyz) 的可能組數一樣多。

360=23325

先來研究 23 的可能分布情形，xyz 中至少有一個數恰含 23 的因數（其他數中 2 的次方數皆小於或等於 3），

因此 23 這個因數的分配可能有 C13(3+1)2−C23(3+1)+C33=37 種

同理，32 這個因數的分配可能有 C13(2+1)2−C23(2+1)+C33=19 種

　　　51 這個因數的分配可能有 C13(1+1)2−C23(1+1)+C33=7 種

所以，滿足條件的有序數組 (xyz) 有 37197=4921 組數，

即 a 的可能值個數有 4921 個。

第 7 題：

令 z5−i=0 的五根為 z_1, z_2, z_3, z_4, z_5，且令 z_0=1+i

則 z^5-i = \left(z-z_1\right)\left(z-z_2\right)\left(z-z_3\right)\left(z-z_4\right)\left(z-z_5\right)

\Rightarrow \overline{PA}\cdot\overline{PB}\cdot\overline{PC}\cdot\overline{PD}\cdot\overline{PE}

　　=\left|z_0-z_1\right|\cdot\left|z_0-z_2\right|\cdot\left|z_0-z_3\right|\cdot\left|z_0-z_4\right|\cdot\left|z_0-z_5\right|

　　=\left|z_0^5-i\right|

　　=\left|\left(1+i\right)^5-i\right|

　　=\left|\left(1+i\right)^2\cdot\left(1+i\right)^2\cdot\left(1+i\right)-i\right|

　　=\left|\left(2i\right)\cdot\left(2i\right)\cdot\left(1+i\right)-i\right|

　　=\left|-5i-4\right|

　　=\sqrt{41}


後註：我（回覆）怎麼總慢一步～囧rz......

填充第 2 題：

先看一般項 \displaystyle \sum_{k=1}^m k(k+1) = \frac{1}{3}\sum_{k=1}^m \Bigg(k(k+1)(k+2) - (k-1)k(k+1)\Bigg) = \frac{1}{3}m(m+1)(m+2)

所求＝\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{3}k(k+1)(k+2)=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{4}\sum_{k=1}^{n-1} \Bigg(k(k+1)(k+2)(k+3)-(k-1)k(k+1)(k+2)\Bigg) = \frac{1}{12}(n-1)n(n+1)(n+2)

第 12 題：

設題目所求之數為 a，且三次除法的商數與餘數分別為 q_1,q_2,q_3 與 r_1, r_2, r_3，則

63 = a\cdot q_1 + r_1
91 = a\cdot q_2 + r_2
129 = a\cdot q_3 +r_3

\Rightarrow 283 = a(q_1+q_2+q_3) + 25

\Rightarrow a(q_1+q_2+q_3) = 258

\Rightarrow a \Bigg| 258

且因為 258=2\cdot3\cdot43 以及 a\leq 63（否則餘數 r_1 就會是 63，超過 25 了）

且由 25=r_1+r_2+r_3<3a\Rightarrow a>8，可得 a=43

填充第 2 題另解，


\displaystyle\sum_{m=1}^{n-1}\sum_{k=1}^m k\left(k+1\right) = 2 \sum_{m=1}^{n-1}\sum_{k=1}^m\frac{k\left(k+1\right)}{2}=2 \sum_{m=1}^{n-1}\sum_{k=1}^m\sum_{i=1}^k i = 2 \sum_{m=1}^{n-1}\sum_{k=1}^m\sum_{i=1}^k \sum_{p=1}^i 1


\displaystyle= 2\times（對於固定正整數 n，計算滿足條件 1\leq p\leq i\leq k\leq m\leq n-1 的有序數組 (p,i,k,m) 整數解之組數）

\displaystyle= 2H^{n-1}_4= 2 C^{n+2}_4 = \frac{\left(n+2\right)\left(n+1\right)n\left(n-1\right)}{12}

學弟，沒那麼誇張吧，哈～只是碰巧想到的而已。　＝＝

幫我一起來想看看還有沒有什麼題目也有其它有趣的另解吧。：Ｄ

第 15 題：
雅妮參加擲骰子比賽，遊戲規則如下：每次投擲二顆相同的公正骰子，
(1)若擲出點數和為7點，可得獎金100元，並可以繼續投擲；若再擲出點數和為7點，則再得100元，並可以繼續投擲，以此類推，
(2)若擲出點數和不是7點，則得30元，並結束比賽。
則雅妮參賽的獎金期望值為[u]　　　[/u]。
[解答]
丟兩顆骰子，點數和為 7 的機率＝\displaystyle \frac{6}{6^2}=\frac{1}{6}

設所求期望值為 x，則 \displaystyle x=\frac{1}{6}\left(100+x\right)+\frac{5}{6}\cdot30\Rightarrow 50