填充第 3 題：

小於 310 且與 310 互質的正整數個數為 3101−31=239 

思考：若 1k330 且 gcd(k310)=1，則   gcd(310−k310)=1k310+310310−k=1

因此，所求＝  21239=39=19683 

填充第 8 題：

思考：小弟不太喜歡兩個變數互相限制來限制去的，因使先想辦法讓兩個變數沒有瓜葛～

令 t=x−yt0

x+2y5x+4y=t+3y5t+9y=3+2tt+9y=3+21+ty3

先找出下界是 3 了！

當 t=0yR+時，t+3y5t+9y 有最小值為 3

亦即當 x=y0 時，可得 x+2y5x+4y 有最小值為 3



因為 ty0，因此 x+2y5x+4y=3+21+ty3+21+0=5

找到上界 5 了！

當 y=0x0 時，可得 x+2y5x+4y=5 為最大值.


因此，所求＝最小值＋最大值＝8

填充第 6 題：

※　如下想了一個怪方法，我想應該有其他更漂亮的方法吧。

先畫出圖形，觀察一下～

令 BO=pBA+qBC .......(1)

將 (1) 的等號左右同時內積 BA，可得 27=27p+(−27)q

將 (1) 的等號左右同時內積 BC，可得 108=(−27)p+108q

兩式解聯立，可得 p=38q=35

亦即 BO=38BA+35BC=313813BA+513BC 

令 OB 與 AC 的交點為 D

可得 AD:DC=5:8，且 BD:OB=3:13OD:OB=10:13

因此，OD=813OA+513OC 且 OB=1013OD

故，OB=1013813OA+513OC=54OA+21OC 

計算第 5 題：

365711=5a+7b+c11

36=a711+b511+c57


1a2(mod5)a3(mod5)a=3 或 a=−2

1b6(mod7)b6(mod7)b=6 或 b=−1

3c2(mod11)c7(mod11)c=7 或 c=−4

因此僅有 222=8 種情況是有可能得，

再帶入 365711=5a+7b+c11 檢查看這八種中有多少種會成立，

可得正確的答案。

計算第 5 題：

另解，

36=77a+5(11b+7c)

解出通解 a=−2+5t11b+7c=38−77t，其中 t 為整數，

因為 a5，所以 t=0 或 t=1

case i: 當 t=0 時，11b+7c=38，解出通解 b=−1+7mc=7−11m，其中 m 為整數，

　　　　因為 b7 且 c11，所以 m=0 或 m=1，可得 (abc)=(−2−17) 或 (−26−4)

case Ii: 當 t=1 時，11b+7c=−39，解出通解 b=−1+7mc=−4−11m，其中 m 為整數，

　　　　因為 b7 且 c11，所以 m=0，可得 (abc)=(3−1−4)





>>>>>>>>>另外，順便來寫一下雙自由變數的通解，如下<<<<<<<<<<<<<<<<

36=77a+5(11b+7c)

先寫出 (a11b+7c) 的特解 (−238)，再寫通解 a=−2+5t11b+7c=38−77t，其中 t 為整數，

再來考慮 11b+7c=38−77t，

先寫出 (bc) 的特解 (−17−11t)，再寫通解 b=−1+7mc=7−11t−11m，其中 m 為整數。

因此， (abc) 整數解的通解為 (abc)=(−2+5t−1+7m7−11t−11m)，其中 tm 為整數。

然後再依照本題的 a5b7c11，也可解得對應的 tm 之值。

填充第 5 題：

令 an 的公比為 a，bn 的公比為 b，則

解 11−a+11−b=3811−ab=54，可得 (ab)=(21−21) 或 (−2121)

因此，所求＝11−212+211−212−1+11−−212=1564

令 k=11b+7c，則 36=77a+5k

欲求 ak 的整數解，

法一： 尤拉法，36=77a+5kk=7−15a+51−2a

　　　 欲求整數 a ，使得 k 亦為整數，可取 1−2a=5a=−2

　　　 此時 k=38 亦為整數。


法二：因為 gcd(775)=1 ，所以先找 「77第一數+5第二數=1」

　　　利用輾轉相除法（ＰＯ文不方便寫成表格狀，以下改以橫式書寫～），

　　　77÷5=15277=155+2

　　　5÷2=215=22+1

　　　由最後一式往上帶回去，

　　　可知 1=5−22

　　　1=5−277−155 

　　　1=531+77−2 

　　　左右兩邊同時乘以 36，可得

　　　36=53136+77−236 

　　　36=51116+77−72 

　　　再找通解 36 = 5\times\left(1116-77k\right)+77\times\left(-72+5k\right)，其中 k 為任意整數

　　　取 k=-14，即可得 36 = 5\times38+77\times\left(-2\right)

法三： google "秦九韶大衍求一術"