100北一女中

4.
已知曲線f(x)=x4+4x3−16x2+6x−5在x=s與x=t(其中s=t)時的切線重合，求s−t=　　　

將以 (sf(s)) 為切點的切線方程式 y−f(s)=f(s)(x−s)

帶入 y=f(x) 可得 f(x)−f(s)−f(s)(x−s)=0

因為相切，可知 f(x)−f(s)−f(s)(x−s)=0 有 x=s 的重根，

同理，f(x)−f(t)−f(t)(x−t)=0 有 x=t 的重根，

因為以 (sf(s)) 為切點的切線與以 (tf(t)) 為切點的切線相同，

所以 y−f(s)=f(s)(x−s) 與 y−f(t)=f(t)(x−t) 相同，

可知  f(x)−f(s)−f(s)(x−s)=0 有 x=s 的重根，也有 x=t 的重根，

又因為 f(x)−f(s)−f(s)(x−s)=0 為x 的四次方程式，且 s=t，

因此 f(x)−f(s)−f(s)(x−s)=0 有 x=t 二重根與 x=s 的二重根

f(x)−f(s)−f(s)(x−s)=(x−t)2(x−s)2

後面續原 #10 回覆。