第 8 題：

設此 27 個單位立方體由原點往第一卦限開始堆疊，以組成體積為 27 的大正立方體，

則垂直且平分由 (000) 連至 (333) 的對角線線段之平面為 x+y+z−29=0

這 27 個小正立方體的頂點中，最靠近原點的那 27 個頂點分別是 (ijk)，其中 0ijk2 且 ijk 為整數，

這 27 個小正立方體的頂點中，最遠離原點的那 27 個頂點分別是 (i+1j+1k+1)，其中 0ijk2 且 ijk 為整數，

若平面 x+y+z−29=0 與「最靠近原點的那個頂點坐標為 (ijk) 的單位正立方體」有相交，

則必滿足 i+j+k−290 且 (i+1)+(j+1)+(k+1)−290

23i+j+k29

其中 0ijk2 且 ijk 為整數，

若 i+j+k=2，2=2+0+0 (三組)=1+1+0 (三組)

若 i+j+k=3，3=2+1+0 (六組)=1+1+1(一組)

若 i+j+k=4，4=2+2+0 (三組)=2+1+1(三組)


共 19 個 。



註：剛剛才算，因為沒有答案可以比對，如有漏列，煩請不吝告知，感謝。

感謝您的提醒，馬上修改。 ^__^

你把已知條件給的橢圓先平移、後旋轉，

卻忘了把題目要求的 x2+y2 經過先平移成 (x−1)2+(y−1)2 之後，

其中心點變成〝非原點〞，

所以旋轉也會改變位置，

變成求 x+22+y2  的最大值與最小值 。




已知 8x2+y224=1，

求 x+22+y2  的最大值與最小值。

剩下就～～～ \displaystyle \frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{24}=1\Rightarrow y^2=24-3x^2

將其帶入 \displaystyle\left(x+\sqrt{2}\right)^2+y^2，

再配方成 \displaystyle -2\left(x-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2+27 後，即可得最大值 27 與最小值 2

（注意 x 範圍：-2\sqrt{2}\leq x\leq2\sqrt{2}）。

第 11 題：

\log_4\left(x+2y\right)+\log_4\left(x+2y\right)=1

\Rightarrow x^2-4y^2=4 且 且 x+2y>0,x-2y>0

滿足上述條件的圖形是右葉的雙曲線

　　　

qq.png (13.46 KB)

2012-4-16 09:12

所求 |x|-|y| 不失一般性可假設 x\geq0, y\geq0，

則 |x|-|y|=x-y 欲求最小值，且 限制條件為雙曲線 x^2-4y^2=4 在第一象限部分

令 x-y=k\Rightarrow y=x-k

而 x^2-4y^2=4 的斜率為 1 的切線為 y=1\cdot x\pm\sqrt{4\cdot1^2-1}\Rightarrow y=x\pm\sqrt{3}

其中與雙曲線於於第一象限相切的切線為 y=x-\sqrt{3}\Rightarrow x-y=\sqrt{3}

可得所求之最小值為 \sqrt{3}.

你沒有錯，是我筆誤把 \displaystyle\left(x+\sqrt{2}\right)^2+y^2  打成  \displaystyle\left(x-\sqrt{2}\right)^2+y^2 了，

看後面配方還原回去就可以知道我打錯正負號了。立馬修正，感謝。

第 12 題（第七次合作杯數學有獎徵答所提供的參考解答的方法）

令 x+y=u, xy=v，則

x^2+xy+y^2=3x+3y+9\Rightarrow \left(x+y\right)^2-xy=3\left(x+y\right)+9

\Rightarrow u^2-v=3u+9\Rightarrow v=u^2-3u-9

所求＝x^2+y^2=\left(x+y\right)^2-2xy=u^2-2v=u^2-2\left(u^2-3u-9\right)

　　　　　　　 =-u^2+6u+18=-\left(u-3\right)^2+27

因為 x,y 為方程式 t^2-ut+v=0 的實根

所以判別式 D=u^2-4v\geq0

再將 v=u^2-3u-9 帶入上式，

可得 u^2-4\left(u^2-3u-9\right)\geq0\Rightarrow u^2-4u-12\leq0

\Rightarrow \left(u+2\right)\left(u-6\right)\leq0\Rightarrow -2\leq u\leq6

由 所求 x^2+y^2=-\left(u-3\right)^2+27 搭配 u 的範圍 -2\leq u\leq6

（畫出頂點在 (3,27) 且開口向下拋物線的圖形）

可得當 u=3 的時候，x^2+y^2 有最大值為 27；

　　當 u=-2 的時候，x^2+y^2 有最小值為 2。

填充7
考慮一個正四面體與其內切球與外接球。今在正四面體之四個面，均有一個最大球與其相切也和外接球相切(此球在正四面體外部)。若在外接球的內部任取一個點P，則P不落在內切球內部也不落在正四面體外圍的四個球內之機率為何？
[解答]
（幫朋友解完順便ＰＯ上來～）

111.1.15補充
已知一正四面體有一個外接球與一個內切球，今知在四面體中之四個面，均有一個最大的球(在正四面體外)與其相切且與外接球也相切，若在外接球內任選一點P，則P落在內切球或正四面體外圍的四個球內之機率的近似值為　　　　。
(A) 0　(B) 0.1　(C) 0.2　(D) 0.3　(E) 0.4
(1999ASHME，https://artofproblemsolving.com/ ... Problems/Problem_29)

2014-02-13 15.15.25.jpg (198.47 KB)

2014-2-13 15:18