計算第 2 題：
設數列\(\langle\;a_n \rangle\;\)和\(\langle\;b_n \rangle\;\)滿足\(a_{n+1}=2a_n\times b_n\)，\(b_{n+1}=4a_n^2+b_n^2\)，且\(a_1=7\)，\(b_1=3\)。試證：數列\(\displaystyle \langle\;\frac{b_n}{a_n} \rangle\;\)是收斂數列，並求其極限值。
[解答]
令 \(\displaystyle c_n = \frac{b_n}{a_n}\)，則

\(\displaystyle c_{n+1}=\frac{b_{n+1}}{a_{n+1}}=\frac{4a_n^2+b_n^2}{2a_n b_n}=\frac{c_n}{2}+\frac{2}{c_n}\)

且 \(\displaystyle c_1 = \frac{b_1}{a_1}=\frac{3}{7}>0\)，

對任意正整數 \(n\)，恆有 \(c_n>0\) 且 \(\displaystyle c_{n+1} = \frac{c_n}{2}+\frac{2}{c_n}\geq 2\sqrt{\frac{c_n}{2}\cdot\frac{2}{c_n}}=2\) 。

對任意大於 \(2\) 的正整數 \(n\) ，恆有 \(\displaystyle c_{n+1} - c_{n} = \left(\frac{c_n}{2}+\frac{2}{c_n}\right)-c_n = \frac{2^2 - c_n^2}{2 c_n}\leq 0\)，即 \(c_{n+1}\leq c_n\)。

因為 \(\left \langle c_2, c_3, c_4, c_5 , \cdots\right\rangle\) 是遞減且有下界的數列，可得 \(\left \langle c_n\right\rangle\) 數列收斂，即  \(\displaystyle \left \langle \frac{b_n}{a_n}\right\rangle\) 數列收斂。

因為非負數列  \(\left \langle c_n\right\rangle\) 收斂，可令 \(\displaystyle x=\lim_{n\to\infty} c_n\geq 0 \)，則

\(\displaystyle \lim_{n\to\infty} c_{n+1} = \lim_{n\to\infty}\left(\frac{c_n}{2}+\frac{2}{c_n}\right) = \frac{\displaystyle \lim_{n\to\infty} c_n}{2}+\frac{2}{\displaystyle  \lim_{n\to\infty} c_n}\)

\(\displaystyle\Rightarrow   x = \frac{x}{2}+\frac{2}{x}\Rightarrow x=\pm 2\)（負不合）。

故 \(\displaystyle \lim_{n\to\infty} c_n=2\)，即 \(\displaystyle \lim_{n\to\infty} \frac{b_n}{a_n}=2\) 。