引用:

原帖由 WAYNE10000 於 2012-6-24 09:27 AM 發表
想請問填充8

上述的解題過程 運用到的數學概念是??

謝謝指教

https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1019&page=1#pid2664

填充第 1 題：

qq.png (9.54 KB)

2012-7-2 10:00

如圖，自 −−OX 上任取一異於 O 的點 A，

自 A 往 OYZ 平面做垂線，垂足為 B，

自 B 往 −−OY 做垂線，垂足為 C，

延長 BC 交 −−OZ 於 D 點，

由三垂線定理及 ASA 全等性質，易知 AOCDOC（皆為內角 45−45−90 的等腰直角三角形）

得 AC=CD


因為 −−OX−−OY−−OZ 兩兩夾角都相同，

所以 OB 平分 YOZ，可得 CB:BD=OC:OD=1:2 

故，cos=ACBC=BCCD=11+2=2−1

第 6 題：

我也提供一個方法好了。

因為 x4+ax3+2x2+bx+1=0 有實根，

整理成 x3a+xb+x2+12=0  可以視為「以a為橫坐標、以b為縱坐標的直線方程式」



a2+b2= 「原點到直線 x3a+xb+x2+12=0  上的任意點 (ab) 距離」的平方

　　　　 「原點到直線 x3a+xb+x2+12=0  距離」的平方

　　　　=x32+x2x30+x0+x2+122

　　　　=x2+14x2x4+1 


　　　　（（或是由柯西不等式來推得上面這個式子也可以！是一樣的！

　　　　　　因為 \displaystyle \left(a^2+b^2\right)\left(\left(x^3\right)^2+\left(x\right)^2\right)\geq\left(\left(x^3\right)\cdot a+\left(x\right)\cdot b\right)^2=\left(-\left(x^2+1\right)^2\right)^2

　　　　　））



令 \displaystyle f(x)=\frac{\left(x^2+1\right)^4}{x^2\left(x^4+1\right)}，則 \displaystyle f\,'(x)=\frac{2\left(x^4-1\right)^3}{x^3\left(x^4+1\right)^2}

可知當 x=\pm1 時，f\,'(x)=0，



當 x>1 時，f\,'(x)>0,\, f(x)↗

當 0<x<1 時，f\,'(x)<0,\,  f(x)↘

當 -1<x<0 時，f\,'(x)>0,\,  f(x)↗

當 x<-1 時，f\,'(x)<0,\,  f(x)↘



因此，當 x=\pm1 時，f(x) 有最小值為 f(\pm1)=8

此時，直線方程式為 a+b+4=0或a+b-4=0 ，且原點在此直線上的垂足為 (a,b)=(2,2) 或 (-2,-2).

(承第 6 題) 後半段 \displaystyle a^2+b^2=\frac{\left(x^2+1\right)^4}{x^2\left(x^4+1\right)} 求最小值也可以改用算幾不等式

題述方程式顯然實根 x 非零，

因為 (x^2+1)^2=(x^4+1)+2x^2，

由算幾不等式可得 \displaystyle \frac{(x^4+1)+2x^2}{2}\geq\sqrt{2x^2(x^4+1)}

　　　　　　　　\displaystyle \Leftrightarrow \frac{(x^2+1)^2}{2}\geq\sqrt{2x^2(x^4+1)}

　　　　　　　　\displaystyle \Leftrightarrow \frac{(x^2+1)^4}{x^2(x^4+1)}\geq 8

且當等號成立時，\displaystyle x^4+1=2x^2\Leftrightarrow (x^2-1)^2=0\Leftrightarrow x^2=1\Leftrightarrow x=\pm1