第 16 題：
設方程式 x4+x+1=0 的四個複數根為 r1r2r3r4。若 P(x)=x2−3，則 P(r1)P(r2)P(r3)P(r4)=?      

解答：

令 f(x)=x4+x+1=x−r1x−r2x−r3x−r4 ，

因為 P(x)=x−3x+3=3−x−3−x 

所以，所求 =P(r1)P(r2)P(r3)P(r4)

　　　　　 =3−r1−3−r13−r2−3−r23−r3−3−r33−r4−3−r4 

　　　　　=3−r13−r23−r33−r4−3−r1−3−r2−3−r3−3−r4 

　　　　　=f3f−3 

　　　　　=33+3+1−33+−3+1 

　　　　　=10+310−3 

　　　　　=97

第7題

題目：求 699+799+899 除以 343 的餘數？

解答：

343=73

699=7−199=C099−199+C199−1987+C299−19772+73m1 ，其中 m1 為整數。

799=73796

899=7+199=C099+C1997+C29972+73m2 ，其中 m2 為整數。

因此，699+799+899=2C1997+73m1+m2+796=1386+73m1+m2+796 

故，所求即為 1386 除以 343 之餘數，為 14

引用:

原帖由 八神庵 於 2010-6-23 05:02 PM 發表
再度向各位請教第五題
另外
第八題真的只能利用與x-y+10=0垂直的直線切橢園,得到兩條平行直線,再求此組平行線的距離這種方法嗎?
第17題的第四小題,我用偷吃步,把這個四面體轉換成O(0,0,0),A'(0,0,4),B'(1,0,0),C'(0, ...

第五題：

10 球扣掉要選取的四個號碼，則有六個號碼不被選取，

先將六個不被選取的球排成一列，再將四個有特別標記的球插空隙，

則有 C47=35 種方法。

每一種直線排列的方法，由左至右，將 10 球分別寫上 0~9 號，

則有標記的號碼球，就是被選取的號碼。

所以，共有 35 種選取的方法。





第17題的第四小題，

引用:

四面體轉換成O(0,0,0),A'(0,0,4),B'(1,0,0),C'(0,3,0)
求OA'B'C'的內切球半徑簡單多了

後半段我把它寫完，

應該是指：利用內切球球心 Q(ttt)(t0) 到平面 x1+y3+z4=1 的距離為 t

求得較小的 t 值即為所求。

不然也可以如下，

設內切球球心為 Q，則可以利用四個小四面體體積和＝四面體 PABC的體積。

求得內切球半徑。






第八題

引用:

第八題真的只能利用與x-y+10=0垂直的直線切橢園,得到兩條平行直線,再求此組平行線的距離這種方法嗎?

我覺得這樣的作法就很快了，

不然硬要想一個另解的話，

如下，（雖然我覺得沒有比較快 ）

先將橢圓上的點設成動點 P （參數式），

再刻意找一條斜率是 -1 且與橢圓沒有交點直線例如 L:\, x+y+1000000=0 好了，

然後利用點到線的距離求 P 到 L 的最大與最小距離。（中間會用到疊合）

則最大與最小距離之差，即為所求。

（搞了半天，還是原本常用的方法比較直覺。＝＝）

引用:

原帖由 八神庵 於 2010-6-23 07:34 PM 發表
如果距離公式不加絕對值的話
是否為線右為正線左為負
所以(x+y)/根號2代表橢圓上的點與x+y=0的"有向"距離
此時的x=2+3cos(alpha),y=-1+4sin(alpha)為橢圓的參數式
因為橢圓為封閉曲線
因此有最大值與最小值
則最大值與最小值相減,就是這個橢圓的投影長了....
不知道這樣能不能用?

可以呀，哈，好一個有向距離，

這樣就不用像我上面舉的例子（L: x+y+1000000=0）硬要把橢圓根直線分開了。

引用:

原帖由 老王 於 2010-6-23 08:49 PM 發表
這個公式，大家都沒有背嗎??
已知斜率m的切線為
y=mx+\sqrt{m^2a^2+b^2}
y=mx-\sqrt{m^2a^2+b^2}

哈，有呀，不過八神庵要另解，

只好硬生一個另解出來。 :p

第 3 題：

f(x)=\sqrt{\left(x-0\right)^2+\left(x^2-2\right)^2}+\sqrt{\left(x-4\right)^2+\left(x^2-2\right)^2}

令 P(x,x^2), A(0,2), B(4,2)

　　

則 P 位在 y=x^2 拋物線上，

因為 \overline{PA}+\overline{PB}\geq\overline{AB}

所以，所求最小值即為 \overline{AB}=4.

第 15 題：

令 \alpha=6-x, \beta=2+x\Rightarrow \alpha+\beta=8

亦即，「若 f(\alpha)=0，則 f(8-\alpha)=0。」

故，f(x)=0 的 18 個根之和為 \frac{18}{2}\cdot8=72.