第 1,3,4 題，見 thepiano 老師所解的 http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?p=3950#p3950



第 5 題

題目：設 為三個相異的複數， 是 1 的立方根，若 ++2=0，試問在複數平面上表示 的三點成什麼圖形？


解答：

因為 1=−−2

所以 2−=−− 

−=−1− 

　　　　　　=−cos−120−isin−120− 

　　　　　　=cos60+isin60− 


若將 都平移到以 為新原點，

則平移後之 點坐標與 點坐標，剛好是以新原點為圓心旋轉 60 之關係，

故， 三點形成的圖形為正三角形。

jsMath 是透過 JavaScript 在執行的，

也就是不同的電腦、瀏覽器，

可能顯示效果與速度都會有些微差異，

你可以試試看猶如 https://math.pro/db/announcement.php?id=2 所寫，

安裝 TeX 字型，或許會有更好的顯示效果。

（雖然我在家裡沒有安裝 TeX 字型的電腦顯示效果也很好。）

或是改試用不同的瀏覽器看看，如 FireFox or Chrome.

第2題：設 AB 的長度為 d，P 是以 AB 為直徑的半圓上的一個動點，且 ∠PAB=。令 PA+PB=x，

(1) 將 sin6+cos6 表示成 x 的函數。

(2) 求 sin6+cos6 的最小值，並求此時 和 x 的值。



解答：

x=dcos+dsinxd=sin+cos2 

且由 xd0 ，可得 1xd21x2d22 



sin6+cos6=sin2+cos23−3sin2cos2sin2+cos2 

　　=1−3sin2cos2=1−32sin+cos2−12=−43x2d2−12+1 



故，

當 x=d 時，\sin^6 \theta+\cos^6 \theta 有最大值為 1。

當 x=\sqrt{2}d 時，\sin^6 \theta+\cos^6 \theta 有最小值，

　　此時 \sin\theta+\cos\theta=\sqrt{2}，且由 0^\circ\leq\theta\leq90^\circ，

　　可得 \theta=45^\circ，且 \sin^6 \theta+\cos^6 \theta 的最小值為 \displaystyle\sin^6 45^\circ+\cos^6 45^\circ=\frac{1}{4}。