\(\displaystyle 87^2+84^2+……+30^2\Rightarrow\mbox{ 利用 }\sum\left(k+3\right)^2=\sum k^2 + 6\sum k +\sum 9\)

不過，第 6 題，應該是用 iamcfg 上面寫的，再加上平方差公式。

第 16 題答案為第 P 格，其值與上方 bugmens 回覆作法的結果相同，peter579 應該是不小心看錯答案格了。^_^

第 1 題：
設\(a\)為實數，使得\(a+log_2 3\)、\(a+log_4 3\)、\(a+log_8 3\)形成等比數列，求此公比為　　　。
[解答]
\( a+\log_2 3 \)，\( a+\log_4 3 \)，\( a+\log_8 3 \)形成等比數列

\(\displaystyle \Rightarrow \left(a+\log_4 3\right)^2=\left(a+\log_2 3\right)\cdot\left(a+\log_8 3\right)\)

\(\displaystyle \Rightarrow \left(a+\frac{1}{2}\log_2 3\right)^2=\left(a+\log_2 3\right)\cdot\left(a+\frac{1}{3}\log_2 3\right)\)

解得 \(\displaystyle a=-\frac{1}{4} \log_2 3\)，

因此，數列為 \(\displaystyle\frac{3}{4} \log_2 3,\,\frac{1}{4} \log_2 3,\,\frac{1}{12} \log_2 3\)，

故，公比為 \(\displaystyle \frac{1}{3}\)。


設a為實數，使得\( a+log_2 3 \)，\( a+log_4 3 \)，\( a+log_8 3 \)形成等比數列，求此公比為？
[出處，94高中數學能力競賽　北區第二區　筆試二試題]

113.5.13補充
設\(a\in R\)，若\( a+log_2 3 \)，\( a+log_4 3 \)，\( a+log_8 3 \)是等比數列，求此等比數列的公比為　　　。
(104全國高中聯招，https://math.pro/db/thread-2252-1-1.html)

相同題目，主題合併討論。

填充第 2 題：
正整數的遞增數列，\(a_1,a_2,a_3,\ldots\)符合\(a_{n+2}=a_{n+1}+a_n\)，其中\(n\ge 1\)。若\(a_7=120\)，求\(a_8=\)　　　。
[解答]
令 \(a_1=a, a_2=b\)

則 \(a_7=5a+8b=120\)

可知滿足 \(a,b\) 為正整數且 \(a<b\) 的數對 \((a,b)\) 只有一組解 \((8,10)\)

因此 \(a_8=8a+13b=194.\)



補充說明何以知道 \((a,b)\) 只有唯一一組解：

\(5a+8b=120\) 可先找得整數數對 \((a,b)\) 的通解 \((a,b)=(8t+24, -5t)\)，其中 \(t\) 為整數，

再解得滿足條件 \(b>a>0\) 的整數 \(t=-2\)，因此 \((a,b)=(8,10)\)