請問一題，2^n=a!+b!+c!，a≧b≧c，求(n,a,b,c) 的整數解.

我的做法是慢慢討論，不知有沒有人可以提供更快的做法呢?


我的做法：

2n=a!+b!+c!

2n=c!c!a!+c!b!+1 

因為 abc 皆為正整數，

所以 c!a!+c!b!+1 為正整數

得 c!2nc=1 或 2




若 c=1，則 2n=c!c!a!+c!b!+1  2n=a!+b!+1 

　　a!+b!=2n−1 為奇數

　　若 a=1，則因為 a1，得 b=1，則 a!+b!=2 為偶數，矛盾.

　　若 a2，則 a! 為偶數 b=1，則 a!=2n−2=22n−1−1=2奇數 ，得 a! 是 2 的倍數、非 4 的倍數

　　a=2 或 3，檢查 2!+1!+1!=22 合，3!+1!+1!=8=23 合。

若 c=2，則 2n=2!2!a!+2!b!+1 

　　2a!+2b!=2n−1−1

　　因為 2n=a!+b!+c!1+1+1=3，所以 n1，因此 2n−1−1 為奇數

　　因為 abc=2

　　若 a=2，則 a=b=22a!+2b!=2 為偶數，矛盾

　　若 a=3，則 b=2 \mbox{ 或 } 3，檢驗 3!+2!+2!=10,\, 3!+3!+2!=14 都不合

　　若 a\geq 4，則 \displaystyle \frac{a!}{2} 為偶數 \displaystyle \Rightarrow \frac{b!}{2} 必為奇數，故 b= 2 \mbox{ 或 } 3

　　　　　　若 b=2，則 \displaystyle \frac{a!}{2} = 2^{n-1}-2 = 2\left(2^{n-2}-1\right)

　　　　　　　　　　\Rightarrow a! = 2^2 \left(2^{n-2}-1\right)

　　　　　　　　　　若 n=2，則 a!=4 無解

　　　　　　　　　　若 n\geq 2，則 a! = 4\times\mbox{奇數}，得 a! 是 4 的倍數、非 8 的倍數

　　　　　　　　　　但 a\geq4 \Rightarrow 4!\Big|a! \Rightarrow 24\Big| a! 矛盾

　　　　　　若 b=3，則 \displaystyle \frac{a!}{2} = 2^{n-1}-4 = 2^2 \left(2^{n-3}-1\right)

　　　　　　　　　　\Rightarrow a! = 2^3 \left(2^{n-3}-1\right)

　　　　　　　　　　若 n=3，則 a!=8 無解

　　　　　　　　　　若 n\geq3，則 a! = 8\times\mbox{奇數}，得 a! 是 8 的倍數、非 16 的倍數

　　　　　　　　　　\Rightarrow a=4 \mbox{ 或 } 5，檢查 4!+3!+2!=2^5 合，5!+3!+2!=2^7 合。


因此 (a,b,c,n) = (2,1,1,2), (3,1,1,3), (4,3,2,5), \mbox{ 或 } (5,3,2,7).


題目出處：99台中一中教甄