在平面上有點 A(13)  B(1−3) ，點 P 在線段 AB 上，點 P 在 y 軸的右側，

滿足 OPP 三點共線且 OPOP=4。

求證：P 軌跡在某一個圓周上，並求其圓心.


證明：

設 OP 的斜率為 m，則

P(1m)，且 OP=1+m2OP=41+m2 ，

令 P(xy)，則 y=mx，帶入 OP=41+m2x1+m2=41+m2 ，

可得 x(1+m2)=4，由 y=mxm=xy，

可得 x1+x2y2=4 ，化簡可得 x−22+y2=4 ，

故 P 在圓 x−22+y2=4  的圓周上。

此圓的圓心坐標 (20)，半徑為 2。

Note: 但在圓周上的卻不一定都是 P 點喔。

圖形是圓的一部分，像是一個左右顛倒的Ｃ，而 A, B 兩點就是那開口的兩個端點。

如果不限定 P 要在 \overline{AB}，而是改成 P 在 \overleftrightarrow{AB} 上，

則圖形就是少了一點（原點）的圓，

當 P 的 y 座標趨近於 \pm\infty 時，P' 會趨近於原點。

引用:

原帖由 arend 於 2009-10-30 11:22 PM 發表
瑋岳老師你好:
我驗算過
A與B不在圓(x-2)^2+y^2=4上

又如何驗證"當 P 的 y 座標趨近於 ±∞ 時，P’ 會趨近於原點。"
可否指點迷津?
謝謝喔

\displaystyle\left(1-2\right)^2+\left(\pm\sqrt{3}\right)^2\neq 4 ？？？


\overline{OP'}=\frac{4}{\overline{OP}}，當 \overline{OP}\to\infty 時，\overline{OP'}\to0.