一、多重選擇題
1.
設銳角三角形 ABC 中， D 為 BC 的中點，由 D 向 ABAC 作垂線，垂足分別為 EF，

若 AE:EB=7:5，AF:FC=5:3，abc 分別表示 ∠A∠B∠C 的對邊長，則

(A) cosB=5c6a

(B) cosC=4a3b

(C) cosA0

(D) 若 a=4，則 ABC 的面積為 23

(E) c=3  時，則 a=b2。
[解答]

(A) cosB=BEBD=2a5c12=5c6a

(B) cosC=CFCD=2a83b=4a3b

(C) 因為 ABC 為銳角三角形，所以 cosA0

(D) 若 a = 4 時，令 x=AD，則

　　x2−7c122=22−5c122 

　　且　x2−85b2=22−83c2 　

　　且　b2+c2=2x2+22 

　由以上三式，可解得 b2=8c2=12x2=6

　AB=23AC=22 

　再用畢氏定理求出 DEDF，則三角形 ABC 面積可得。


(E) 當 c=3  時，

　　利用同 (D) 選項的式子，可得 a=2b=2AD=26 

填充第 5 題
已知f(x)=3x4−x3−6x2+ax−4g(x)=x3+x+a−4aR
(1)f(x)g(x)的最高公因式為一次式，則a=　　　
(2)圖形y=f(x)−ax恆在y=g(x)−7x的上方，求a的範圍　　　
[解答]
(1)

設 f(x) 與 g(x) 的最高公因式為 d(x)，

則 d(x)f(x)−xg(x)

d(x)2x4−x3−7x2+4x−4

d(x)(x−2)(x+2)(2x2−x+1)

因為 d(x) 為一次式，所以 d(x)=x−2 或 d(x)=x+2

case i: 若 d(x)=x−2，則 f(2)=g(2)=0\Rightarrow a=-6

case ii: 若 d(x)=x+2，則 f(-2)=g(-2)=0\Rightarrow a=14

故，a=-6 或 a=14.


(2)

因為 y=f(x)-ax 的圖行恆在 y=g(x)-7x 的上方

所以 f(x)-ax>g(x)-7x （對任意實數 x） 恆成立

\Rightarrow 3x^4-2x^3-6x^2+6x-a>0 （對任意實數 x） 恆成立

令 h(x)=3x^4-2x^3-6x^2+6x-a

由 h'(x)=0，可解得 \displaystyle x=-1,\frac{1}{2},1

所以 h(x) 的最小值即為 h(-1), h(1) 之中的最小者

（腦海中有浮現～四次函數圖形像Ｗ的樣子嗎？有看到最小值會發生在哪裡齁！）

因此，h(1)>0 且 h(-1)>0

可得 a<-7

証明第 4 題
求證：\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{sinx}{x}=1
[解答]
(1) 先證 \displaystyle \lim_{x\to0^+} \frac{\sin x}{x}=1

當 \displaystyle \frac{\pi}{2}>x>0 時，

circle.png (7.95 KB)

2011-12-23 08:42

如圖，畫一單位圓，

做 ∠AOB=x 弧度，與圖上各點（詳細各點的做法應該不用說吧？＝＝）

則 \overline{AB}=\sin x，AD弧長=x，\overline{CD}=\tan x

因為　三角形OAD面積＜扇形OAD面積＜三角形OCD面積

所以 \sin x<x<\tan x

且當 x>0時，\sin x>0

所以 \displaystyle \sin x<x<\tan x

\displaystyle \Rightarrow \sin x<x<\frac{\sin x}{\cos x}

\displaystyle \Rightarrow 1<\frac{x}{\sin x}<\frac{1}{\cos x}

\displaystyle \Rightarrow \cos x<\frac{\sin x}{x}<1

又因為 \displaystyle \lim_{x\to0^+}\cos x = 1 且 \displaystyle \lim_{x\to0^+}1=1

所以由夾擠定理，可得 \displaystyle \lim_{x\to0^+} \frac{\sin x}{x}=1



(2) 再證 \displaystyle \lim_{x\to0^-} \frac{\sin x}{x}=1

因為 \displaystyle \lim_{x\to0^-} \frac{\sin x}{x}=\lim_{x\to0^-} \frac{-\sin (-x)}{-(-x)}=\lim_{t\to0^+} \frac{-\sin t}{-(t)}=1

（上面令 t=-x，應該看得出來吧～：Ｐ）


由 (1)&(2)，可得 \displaystyle \lim_{x\to0} \frac{\sin x}{x}=1