題目：
若 Rn=21an+bn ，其中 a=3+22b=3−22 ，且 n=0123。試問 R12345 的個位數為何？


解答：

因為 a+b=6 且 ab=1，所以 ab 為 x2−6x+1=0 的兩根，

a2−6a+1=0 且 b2−6b+1=0

an+2−6an+1+an=0 且 bn+2−6bn+1+bn=0n=0123

an+2+bn+2−6an+1+bn+1+an+bn=0n=0123 

21an+2+bn+2−621an+1+bn+1+21an+bn=0n=0123 

Rn+2−6Rn+1+Rn=0n=0123

Rn+2=6Rn+1−Rnn=0123

且由 R0=1R1=3，就可以開始條列，如下

n	0	1	2	3	4	5	6	7
Rn 除以10的餘數	1	3	7	9	7	3	1	3

列到開始有兩位數字跟前面一樣，就可以停止了（因為由遞迴關係式可知，每一項只與前兩項有關，故若前兩項相同，後面的結果亦相同）

由上表可以知道 Rn 除以 10 的餘數每六個數字一循環，而 12345 除以 6 的餘數為 3，

故，R12345 除以 10 的餘數=R3 除以 10 的餘數=9

遞迴關係式可知，每一項只與前兩項有關，故若前兩項相同，後面的結果才會相同

因此不能只看一項出現，必須要看連續兩個出現與前面重複，才可以保證重複。



另外， 2某數8(mod10)，並不保證 某數4(mod10)

例如：298(mod10)，但是 「9 並不同餘 4(mod10)」

這是因為 2 與 10 並不互質，因此在 (mod10) 的剩餘系統中，並不存在 2(mod10) 的乘法反元素，

即「不存在整數 a，使得 a21(mod10)」，

因此無法在左右都是偶數的同餘式中～以左右同乘 a(mod10) 來消掉 2(mod10)。

另解：

因為 3223=99702 



所以 213+2212345+3−2212345 

　　　=2199+7024115+99−7024115 

　　　　（將上式以二項式定理展開後合併，偶數項都會對消掉，
　　　　　奇數項都會有兩倍與最外面的 21 相消，
　　　　　消掉兩倍之後的奇數項～除第一項以外～其餘都是 10 的倍數，）

　　　994115(mod10)

　　　\equiv\left(-1\right)^{4115}\pmod{10}

　　　\equiv-1\pmod{10}

　　　\equiv9\pmod{10}

這樣寫會對沒錯呀，

但是最好多檢查到餘數是 0,8,0,2,0,8

發現有兩數字 0,8 開始重複了，

就可以確定餘數是以 0,8,0,2 的方式循環。

否則你可以想看何以判斷餘數是「四個」一循還？還是「兩個」一循環？還是「三個」一循環？還是「多少個」一循環呢？

由 a_n=10a_{n-1}-a_{n-2} 可以知道要檢查到有兩個連續的餘數開始重複出現，才能確定開始循環了。

或是再加上簡單說明 a_n=10a_{n-1}-a_{n-2}\Rightarrow a_{n}\equiv-a_{n-2}\pmod{10}\Rightarrow a_{n}\equiv-a_{n-2}\equiv a_{n-4}\pmod{10}

因此，可知 a_n\pmod{10} 會四個一循環。

你後來手寫回覆的這一題不是連續兩個數字 0,8 重複呀，

你看看你手寫的內容，明明就是 0,8,0,2 連續四個數字的重複呀。

還有你第一次回文的 2R_n\pmod{10} 是兩個數字重複沒錯，但是 R_n\pmod{10} 並不見得就會是兩個數字重複呀！

（2R_n\pmod{10} 我只是點出你並沒有充分的檢查～並不是說循環長度有誤！）