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選擇題，第7題

題目：

設 Fx=0x211+sin2tdt ，則導函數 F(x) 為何？

解：

令 Hx=0x11+sin2tdt ，則 H(x)=11+sin2x

因為 F(x)=H(x2)，所以 F(x)=H(x2)x2=11+sin2x22x=2x1+sin2x2 










選擇題，第 8 題

若 A 為三階方陣且 A3=2A，則何者可能為 A 的行列式值？

解：

A3=2AdetA3=det2AdetA3=23detA 

detA2−8detA=0detA=22 或 0 










選擇題，第 9 題

設 n=1  an  為正項收斂級數，則下列何者不一定為收斂級數？

解：

A 選項 n=1  an ：舉反例，取 an=1n2，則

　　　　　　　由 p 級數檢驗法，可知 n=1  an  收斂，但 n=1  an  發散.

B 選項 n=1  nan ：因為 an 皆為正數，所以 annan0n=1  an  n=1  nan  0 

　　　　　　　因為 n=1  an  收斂，由比較檢驗法，可知 n=1  nan  亦收斂.

C 選項 n=1  an2 ：因為 an 皆為正，且 n=1  an  收斂，所以 limnan=0

　　　　　　　存在kN，使得 0an1nk，因此 0a2nan1nk，

　　　　　　　因為 n=1  an  收斂，所以 n=k  an  亦收斂，

　　　　　　　由比較檢驗法，可知  n=k  a2n  收斂 \displaystyle \Rightarrow\sum\limits_{n = 1}^\infty  {{a_n^2}} 亦收斂.

D 選項 \displaystyle \sum\limits_{n = 1}^\infty  {{a_n a_{n+1}}} ：同 C 選項的方法.

填充題，第 3 題

題目：

在直角坐標平面上，O 為原點，A(2,0),\, B(2,2)，向量 \overrightarrow{BC}=\left( {\sqrt 2 \cos \alpha ,\sqrt 2 \sin \alpha } \right)，

則 \overrightarrow{OC} 與 \overrightarrow{OA} 的夾角 \theta 範圍為？


解：

對任意的實數 \alpha， C 點落在以 B(2,2) 為圓心，以 \sqrt{2} 為半徑的圓周上，

自原點往圓 C 點所在的軌跡（圓）作切線，

設 C_1, C_2 分別為兩切點，可得 \angle BOC_1 = \angle BOC_2 = 30^\circ

\displaystyle \Rightarrow \angle C_1OA = 45^\circ-30^\circ=15^\circ 且 \displaystyle \angle C_2OA = 45^\circ+30^\circ=75^\circ.

故，\overrightarrow{OC} 與 \overrightarrow{OA} 的夾角 \theta 範圍為 \displaystyle 15^\circ\leq\theta\leq75^\circ.