設 \([x]\) 表示不超過 \(x\) 的最大整數值，求整數 \(\displaystyle \left[\frac{10^{93}}{10^{31}+3}\right]\) 的末尾兩位數字。（先寫十位數字，後寫個位數字）
解答：
令 \(\displaystyle a=10^{31}+3\)，則
\[10^{93} = (10^{31})^3 = \left(a-3\right)^3 = a^3 -3\cdot a^2 \cdot 3 + 3 \cdot a \cdot 3^2 - 3^3\]
\[=a^3 - 9 a^2 +27 a -27\]
因此，
\[\left[\frac{10^{93}}{10^{31}+3}\right] = \left[\frac{a^3 - 9 a^2 +27 a -27}{a}\right]\]
\[=\left[a^2 - 9 a +26 + \frac{a-27}{a}\right]=a^2 - 9 a +26\]
（其中 \(\displaystyle 0<\frac{a-27}{a}<1\)，且 \(a^2 - 9 a +26\) 為整數。）
且由
\[a\equiv 3 \pmod{100} ⇒ a^2-9a+26 \equiv 9 -27 + 26 \equiv 8 \pmod{100}\]
故，\(\displaystyle \left[\frac{10^{93}}{10^{31}+3}\right]\) 的末尾兩位數字為 \(08\).
出處：
高雄中學校內數學競賽第一階段考題 2007 年卷 h ttp://web.kshs.kh.edu.tw/math/exam/kshs/96-kshs-01.doc 連結已失效
