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III：平面坐標與向量
» 三角函數的題目，兩題與三角形邊長有關的不等式的證明題
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三角函數的題目，兩題與三角形邊長有關的不等式的證明題
weiye
瑋岳
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發表於 2009-3-9 15:17
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我也來補充一個 Weitzenböck 不等式的證明好了，
設
a
b
c
三邊上的中線分別為
m
a
m
b
m
c
，三邊上的高分別為
h
a
h
b
h
c
，
則中線長≧高，
m
a
h
a
m
b
h
b
m
c
h
c
⇒
2
1
a
m
a
2
1
a
h
a
=
S
2
1
b
m
b
2
1
b
h
b
=
S
2
1
c
m
c
2
1
c
h
c
=
S
兩邊同時平方，可得
⇒
4
1
a
2
m
2
a
S
2
4
1
b
2
m
2
b
S
2
4
1
c
2
m
c
2
S
2
⇒
a
2
m
2
a
4
S
2
b
2
m
2
b
4
S
2
c
2
m
c
2
4
S
2
三式相加，可得
a
2
m
2
a
+
b
2
m
2
b
+
c
2
m
c
2
1
2
S
2
（＊）
由三角形的中線定理，可得
2
2
a
2
+
m
2
a
=
b
2
+
c
2
⇒
m
2
a
=
−
4
a
2
+
2
b
2
+
2
c
2
2
2
b
2
+
m
2
b
=
a
2
+
c
2
⇒
m
2
b
=
2
a
2
−
4
b
2
+
2
c
2
2
c
2
2
+
m
c
2
=
a
2
+
b
2
⇒
m
c
2
=
2
a
2
+
2
b
2
−
4
c
2
上三式代入（＊），可得
a
2
−
4
a
2
+
2
b
2
+
2
c
2
+
b
2
2
a
2
−
4
b
2
+
2
c
2
+
c
2
2
a
2
+
2
b
2
−
4
c
2
1
2
S
2
⇒
4
a
2
b
2
+
b
2
c
2
+
c
2
a
2
−
a
4
+
b
4
+
c
4
4
8
S
2
⇒
a
2
+
b
2
+
c
2
2
−
a
2
−
b
2
2
+
b
2
−
c
2
2
+
c
2
−
a
2
2
4
8
S
2
⇒
a
2
+
b
2
+
c
2
2
4
8
S
2
+
a
2
−
b
2
2
+
b
2
−
c
2
2
+
c
2
−
a
2
2
4
8
S
2
⇒
a
2
+
b
2
+
c
2
4
3
S
多喝水。
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