√2009 = √x ＋ √y且0＜x＜y，求整數對（x, y）？

問題：

已知 √2009 = √x ＋ √y　且　0＜x＜y，則滿足上式的整數對（x, y）共有幾組？






解答：

　√2009 = √x ＋ √y

　⇒　√y= √2009－√x

　⇒　y = 2009＋x－2√（2009x）

因為 2009 = (7^2)×41，所以 y = 2009 ＋ x － 14√（41x）

因為 y 為整數，所以 41x為完全平方數，且因為 41 為質數，

所以可以令 x = 41×\(a^2\) ，其中 a 為正整數，亦即　√x = a√41。

同理，可令 y = 41×\(b^2\) ，其中 b 為正整數，亦即　√y = b√41。

因為 0＜x＜y，所以 0＜a＜b。




所以

√2009 = √x ＋ √y

⇒　7√41 = a√41 ＋ b√41

⇒　7 = a ＋ b

且由 a, b 皆為正整數，0＜a＜b，可得

數對（a,b）=（1,6）、（2,5）或（3,4），

故，

數對（x,y）=\(（41,41×6^2）、（41×2^2,41×5^2）或（41×3^2,41×4^2）\)

共三組。