填充題第 15 題：
設 \(\triangle ABC\) 的外心、也就是\(\triangle BCD\) 的內心為 \(O\)，如圖。
因為 \(O\) 為 \(\triangle ABC\) 的外心，所以 \(\overline{OA}=\overline{OB}=\overline{OC}\)。
因為 \(O\) 為 \(\triangle BCD\) 的內心，所以 \(\overline{OB}, \overline{OC}, \overline{OD}\) 分別平分 \(\angle DBC, \angle BCD, \angle CDB\)。
令 \(\angle OBC = \theta\)，則
因為 \(\overline{OB}\) 平分 \(\angle DBC\)，所以 \(\angle OBD =\angle OBC = \theta\)。
因為 \(\overline{OB}=\overline{OC}\)，所以 \(\angle OCB = \angle OBC =\theta\)。
因為 \(\overline{OC}\) 平分 \(\angle BCD\)，所以 \(\angle OCD =\angle OCB = \theta\)。
因為 \(\overline{CD}\) 平分 \(\angle ACB\)，所以 \(\angle ACD =\angle DCB = 2\theta\)。
因為 \(\overline{OA}=\overline{OC}\)，所以 \(\angle OAC = \angle OCA =3\theta\)。
因為 \(\overline{OA}=\overline{OB}\)，所以 \(\angle OAB = \angle OBA =\theta\)。
如下圖。
利用 \(\triangle ABC\) 內角和為 \(360^\circ\)，得 \(10\theta =180^\circ\Rightarrow \theta = 18^\circ\)。
如下圖。
因為 \(\triangle DBC\) 與 \(\triangle ACD\) 皆為等腰三角形，所以 \(\overline{AC}=\overline{CD}=\overline{BD}=2\)。
因為 \(\triangle ABC\) 與 \(\triangle ACD\) 皆為內角 \(36^\circ-72^\circ-72^\circ\) 的相似三角形，
得 \(\displaystyle \frac{\overline{AB}}{\overline{AC}} = \frac{\overline{AC}}{\overline{AD}}\Rightarrow \frac{\overline{AB}}{2} = \frac{2}{\overline{AB}-2}\Rightarrow \overline{AB}=1\pm\sqrt{5}\)，負不合。
故 \(\overline{AB}=1+\sqrt{5}\)。
