計算題 第5題：
如圖，令 \(\angle OAB=\theta\)，
在 \(\triangle OAB\) 中，因為 \(\overline{OA}=\overline{OB}\)，所以 \(\angle OBA = \angle OAB=\theta\)。
在 \(B\) 點，因為光的反射性質，所以 \(\angle OBC = \angle OBA = \theta\)。
在 \(\triangle OBC\) 中，因為 \(\overline{OB}=\overline{OC}\)，所以 \(\angle OCB = \angle OBC = \theta\)。
在 \(C\) 點，因為光的反射性質，所以 \(\angle OCP = \angle OCB = \theta\)。
在 \(\triangle PBC\) 中，因為 \(\angle BCP = \angle CBP = 2\theta\)，所以 \(\overline{PB}=\overline{PC}\)。
在 \(\triangle OPC\) 與 \(\triangle OPB\) 中，因為 SSS 全等，得 \(\angle OPC =\angle OPB\)
令 \(\angle OPC =\angle OPB = \alpha\)。
（全部設置好，如一開始的附圖。）
在 \(\triangle PBC\) 中，三角形的內角和為 \(4\theta +2\alpha = 180^\circ\Rightarrow \alpha = 90^\circ - 2\theta\)。
在 \(\triangle OPC\) 中，由正弦定理，得 \(\displaystyle \frac{\overline{OC}}{\overline{OP}}=\frac{\sin\alpha}{\sin\theta}\)
\(\Rightarrow \sin\alpha = 2\sin\theta\)
\(\Rightarrow \sin\left(90^\circ - 2\theta\right) = 2\sin\theta\)
\(\Rightarrow \cos 2\theta = 2\sin\theta\)
\(\Rightarrow 1-2\sin^2\theta = 2\sin\theta\)
\(\Rightarrow 2\sin^2\theta + 2\sin\theta-1=0\)
\(\displaystyle \Rightarrow \sin\theta = \frac{\sqrt{3}-1}{2}\)（另一根小於 \(-1\) ，不合）
\(\displaystyle \Rightarrow \cos\theta = \sqrt{1-\sin^2\theta} = \sqrt{\frac{\sqrt{3}}{2}}\)。
另一方面，
\(\angle AOP = \angle POC - \angle AOC = \left(3\theta +\alpha\right) - 4\theta = \alpha - \theta = 90^\circ - 3\theta\)。
因此，
\(\displaystyle \sin\angle AOP = \sin\left(90^\circ - 3\theta\right) = \cos 3\theta=4\cos^3\theta - 3\cos\theta = \cos\theta\left(4\cos^2\theta - 3\right)=\sqrt{\frac{\sqrt{3}}{2}}\left(2\sqrt{3}-3\right)=\sqrt{2\sqrt{3}}\left(\sqrt{3}-\frac{3}{2}\right)\) 。
