114屏東女中教甄數學科試題與答案

填充題第16題：
數列\(\langle b_n \rangle\)滿足\(b_1=6\)，\(b_2=96\)，\(\displaystyle b_{n+2}=\frac{(b_{n+1})^3}{2(b_n)^2}-2b_{n+1}(b_n)^2\)，\(\forall n\in \mathbb{N}\)。設\(\displaystyle p=\left(\frac{b_{101}}{2b_{100}}\right)^2+(b_{100})^2\)，則\(log(logp)\)之值最接近哪個整數？
[解答]
對於任意正整數 \(n\)，令 \(\displaystyle a_n = \left( \frac{b_{n + 1}}{2 b_n} \right)^2 + {b_n}^2\)，

則 \(\displaystyle a_{n+1} = {\left( {\frac{{{b_{n + 2}}}}{{2{b_{n + 1}}}}} \right)^2} + {b_{n + 1}}^2 = {\left( {\frac{{{b_{n + 1}}^2}}{{4{b_n}^2}} - {b_n}^2} \right)^2} + {b_{n + 1}}^2 = {\left[ {{{\left( {\frac{{{b_{n + 1}}}}{{2{b_n}}}} \right)}^2} + {b_n}^2} \right]^2} = {a_n}^2\)

（上面第二個等號的代換，是把題目給的「\({b_{n + 2}} =  \cdots \)」等號左右同除以 \(2 b_{n+1}\) 的結果。）

因此 \(\displaystyle {a_1} = {\left( {\frac{{96}}{{2 \times 6}}} \right)^2} + {6^2} = 100 = {10^2}\)，

\({a_2} = {a_1}^2 = {10^4}\)，

\({a_3} = {a_2}^2 = {10^8}\)，…

\({a_n} = {10^{{2^n}}}\)。

故 \(\displaystyle \log \left( {\log p} \right) = \log \left( {\log {a_{100}}} \right) = \log \left( {\log \left( {{{10}^{{2^{100}}}}} \right)} \right) = \log \left( {{2^{100}}} \right) = 100\log 2 \approx 100 \times 0.3010 = 30.1\)，

最接近的整數為 \(30\)。

填充題第 8 題：
某房間內設有一盞聚光燈，其照射的光線為直圓錐狀。為描述其空間幾何關係，建立如右圖所示的空間坐標系。已知光源\(S(2\sqrt{6},3\sqrt{6},12)\)分別沿著對稱軸\(L\)的方向向量\(\displaystyle (\frac{\sqrt{2}}{2},-\frac{\sqrt{2}}{2},-\sqrt{3})\)以及其中一條母線\(M\)的方向向量\((0,0,-1)\)向地面\(z=0\)照射，試問：此聚光燈照射在牆面(即\(y=0\))上的光線邊緣，為哪一種圓錐曲線圖形的一部分？該圓錐曲線在牆面上的頂點坐標為何？
[解答]
設 \(\displaystyle \vec{m}=(0,0,-1), \vec{v} = \left(\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2},-\sqrt{3}\right)\) 分別表示 \(M\) 與 \(L\) 的方向向量，令向量 \(\vec{m}\) 與向量 \(\vec{v}\) 的夾角為 \(\theta\) ，則 \(\displaystyle \cos\theta = \frac{\vec{m}\cdot\vec{v}}{\left|\vec{m}\right|\left|\vec{v}\right|}=\frac{\sqrt{3}}{2}\)，得 \(\theta = 30^\circ\)，即 \(L\) 與 \(M\) 夾 \(30^\circ\) 或 \(150^\circ\) 。

設 \(P(x,y,z)\) 為聚光燈光線上的任一點，則 向量 \(\vec{SP}\) 與向量 \(\vec{v}\) 夾角為 \(30^\circ\)，

利用 \(\displaystyle \vec{SP}\cdot\vec{v} = \left|\vec{SP}\right| \left|\vec{v}\right| \cos 30^\circ\)，

得 \(\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}\left(x-2\sqrt{6}\right)-\frac{\sqrt{2}}{2}\left(y-3\sqrt{6}\right)-\sqrt{3}\left(z-12\right) = \sqrt{3}\sqrt{\left(x-2\sqrt{6}\right)^2+\left(y-3\sqrt{6}\right)^2+\left(z-12\right)^2}\)

將 \(y=0\) （ \(xz\) 平面）代入上式，並且等號左右兩側同時平方，

得 \(\displaystyle \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\left(x-2\sqrt{6}\right)+3\sqrt{3}-\sqrt{3}\left(z-12\right)\right)^2 = 3 \left(\left(x-2\sqrt{6}\right)^2+54+\left(z-12\right)^2\right) \)


經展開化簡後，

得 \(5 x^2 + 2\sqrt{6} x z - 50 \sqrt{6} x + 12 z + 318 = 0\) …….  （＊）

其判別式 \(=\left(2\sqrt{6}\right)^2-4\times 5\times 0 >0\) ，因此圖形為雙曲線。



再來求此雙曲線的頂點。

由於（＊）是斜的雙曲線，如果先移軸、再轉軸、求頂點會有點花時間，

改找貫軸，然後解貫軸與雙曲線的交點好了。



由直圓錐與雙曲線兩者圖形各自的對稱性，可知直圓錐的對稱軸 \(L\) 在 \(y=0\) 平面的投影即為雙曲線的貫軸，

因此雙曲線的貫軸通過 \(S\) 在 \(y=0\) 平面的投影點 \(\displaystyle \left(2\sqrt{6},0,12\right)\) 且方向向量為 \(\displaystyle \left(\frac{\sqrt{2}}{2},0,-\sqrt{3}\right)//\left(\sqrt{2},0,-2\sqrt{3}\right)\)，

得貫軸在 \(y=0\) 平面的方程式為 \(\displaystyle \frac{x-2\sqrt{6}}{\sqrt{2}}=\frac{z-12}{-2\sqrt{3}}\) …….（＊＊）

再將 \(y=0\) 平面上的「雙曲線方程式（＊）與貫軸方程式（＊＊）解聯立」，

得雙曲線的兩頂點為 \(\displaystyle \left(-\sqrt{6}+\frac{18\sqrt{14}}{7},0,30-\frac{36\sqrt{21}}{7}\right)\) 與 \(\displaystyle \left(-\sqrt{6}-\frac{18\sqrt{14}}{7},0,30+\frac{36\sqrt{21}}{7}\right)\)。

由於最初的聚光燈是朝下（往 \(z=0\) 平面）照射，因此取上面兩頂點中 \(z\) 坐標較小者為 \(\displaystyle \left(-\sqrt{6}+\frac{18\sqrt{14}}{7},0,30-\frac{36\sqrt{21}}{7}\right)\)

即為該圓錐曲線在牆面上的頂點坐標。

計算第 1 題：
\(\vec{a}\)、\(\vec{b}\)、\(\vec{c}\)為空間向量，其中\(\vec{a}\ne \vec{0}\)。
證明：若\(\vec{a}\cdot \vec{b}=\vec{a}\cdot \vec{c}\)且\(\vec{a}\times \vec{b}=\vec{a}\times \vec{c}\)，則\(\vec{b}=\vec{c}\)。
[解答]
若 \(\vec{b}\) 不等於 \(\vec{c}\)，則 \(\left(\vec{b}-\vec{c}\right)\) 不是零向量。

（１）　\(\displaystyle \vec{a}\cdot\vec{b}=\vec{a}\cdot\vec{c}\Rightarrow\vec{a}\cdot\vec{b}-\vec{a}\cdot\vec{c}=0\Rightarrow \vec{a}\cdot\left(\vec{b}-\vec{c}\right)=0\)。

　　　因為 \(\vec{a}\) 與 \(\left(\vec{b}-\vec{c}\right)\) 皆非零向量，得兩非零向量  \(\vec{a}\) 與 \(\left(\vec{b}-\vec{c}\right)\) 互相垂直 。

（２）　\(\displaystyle \vec{a}\times\vec{b}=\vec{a}\times\vec{c}\Rightarrow \vec{a}\times\vec{b}-\vec{a}\times\vec{c}=\vec{0}\Rightarrow \vec{a}\times\left(\vec{b}-\vec{c}\right)=\vec{0}\)。

　　　因為 \(\vec{a}\) 與 \(\left(\vec{b}-\vec{c}\right)\) 皆非零向量，得兩非零向量  \(\vec{a}\) 與 \(\left(\vec{b}-\vec{c}\right)\) 互相平行 。

因為（１）與（２）互相矛盾，得 \(\vec{b}\) 等於 \(\vec{c}\)。