第 14 題：

設數學分數為 x1x2xn，物理分數為 y1y2yn，

兩科加總分的分數為 z1z2zn，兩科的相關係數為 r，

則 x=60y=70x=5y=6z=9，且 z=x+y

利用 zi2=xi+yi2i=123n  ，

得 z12+z2++z2n=x21+x2++x2n+2x1y1+x2y2++xnyn+y12+y22++y2n 

nz2+z2=n2x+x2+2nxyr+nxy  +n2y+y2 

z2=x2+2xyr+y2

92=52+256r+62

得 r=31 。

故迴歸直線為 y−70=3156x−60 


註1： 相關係數 r=nxyx1y1+x2y2++xnyn−nxy

　　　　　　　x1y1+x2y2++xnyn=nxyr+nxy

註2：  z=x+yz2=2x+2xy+2y

第 8 題：

設 A(0+4i)B(3+0i)P(z)C(0+i) 皆為複數平面上的點，

z=4−1+3i=2 P 在「以原點為圓心、以 2 為半徑」的圓 C 」上。

又此圓亦是滿足 PA:PC=2:1 的阿波羅圓，

所以 21PA+PB=PC+PBBC=10  。

註： AB 都在圓外， C 在圓內。

第 12 題：

解 x=32x+1，得 x=1 或 x=−23

令 bn=an+23an−1，則

bn=an+23an−1=32an−1+1+2332an−1+1−1

=6an−1+9−4an−1+4=−32an−1−23an−1−1=−32bn−1 

可得 bn 是一個首項為 \displaystyle \frac{a_1-1}{a_1+\frac{3}{2}}= \frac{2}{7}，公比為 \displaystyle -\frac{2}{3} 的等比數列，

寫出 b_n 的一般項，可得 a_n 的一般項。

第 1 題：

令 P(x, y, 0), A(-5, -4, -5), B(3 ,5, 7)，則 PA+PB\geq AB = 17。

第 2 題：

三點共線的情況有 12+4 = 16 種，

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2024-4-24 12:44

  

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(順時針90度旋轉四次)

四點共線的情況有 4 種，

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(順時針90度旋轉四次)

五點共線的情況有 12 種。
(五條水平線、五條鉛直線、兩條對角線)

所求機率＝\displaystyle \frac{\left(C^{25}_3-16C^3_3-4C^4_3-12C^5_3\right)\times 3!}{C^{25}_{3}\times 3!}=\frac{537}{575} 。

第 11 題：

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2024-4-24 13:03

先求 \displaystyle y=-x^2+4 的斜率為 -3 的切線：

\displaystyle y'=-2x=-3\Rightarrow x=\frac{3}{2}，得切點為 \displaystyle (\frac{3}{2}, \frac{7}{4})。

\Rightarrow k 的最大值為  \displaystyle 3\times\frac{3}{2}+\frac{7}{4}=\frac{25}{4}。

再求 x^2+y^2=4 的斜率為 -3 的切線：

\displaystyle \left|\frac{3\times 0+1\times 0+k}{\sqrt{3^2+1^2}}\right|=2 \Rightarrow -2\sqrt{10}\leq k\leq 2\sqrt{10}

\Rightarrow k 的最小值為  \displaystyle -2\sqrt{10}。

第 12 題~~~ 後半段。

由於 <b_n> 是一個首項為 \displaystyle \frac{a_1-1}{a_1+\frac{3}{2}}= \frac{2}{7}，公比為 \displaystyle -\frac{2}{3} 的等比數列，

所以 \displaystyle b_n = \frac{2}{7}\left(-\frac{2}{3}\right)^{n-1}。

又 \displaystyle b_n = \frac{a_n - 1}{a_n + \frac{3}{2}}\Rightarrow a_n = \frac{1+\frac{3}{2} b_n}{1-b_n}

\displaystyle \Rightarrow a_n -1 = \frac{\frac{5}{2} b_n}{1-b_n}

\displaystyle \Rightarrow \left(a_n -1\right)\left(-\frac{3}{2}\right)^n = \frac{\frac{5}{2} \cdot \frac{2}{7}\left(-\frac{2}{3}\right)^{n-1} \cdot \left(-\frac{3}{2}\right)^n}{1-\frac{2}{7}\left(-\frac{2}{3}\right)^{n-1}} = \frac{-\frac{15}{14}}{1-\frac{2}{7}\left(-\frac{2}{3}\right)^{n-1}}

\displaystyle \Rightarrow \lim_{n\to\infty}\left(a_n -1\right)\left(-\frac{3}{2}\right)^n  = \frac{-\frac{15}{14}}{1-0}=-\frac{15}{14} 。

第 7 題：

a\geq0, b\geq0, c\geq0 且 a+b+c = 1

\Rightarrow 0\leq a\leq1, 0\leq b\le1, 0\leq a+b\leq 1

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2024-4-26 08:45

(a,b) 在 a 軸與 b 軸所構成的直角坐標平面所圍的面積是 \displaystyle \frac{1}{2}。

將 c = 1-a-b 代入題目給的兩個 x 與 y 的等式，

得 x = -3a -b+4, y=-a-2b+3，即

\displaystyle \left(\begin{matrix} x \\ y\end{matrix}\right) = \left(\begin{matrix} -3 &-1 \\ -1 & -2 \end{matrix}\right) \left(\begin{matrix} a \\ b\end{matrix}\right) + \left(\begin{matrix} 4 \\ 3\end{matrix}\right)

也就是 (x,y) 是由點 (a,b) 做線性變換、再平移而得。

由於平移不影響面積，所以 (x,y) 區域面積為  \displaystyle |\left|\begin{matrix} -3 &-1 \\ -1 & -2 \end{matrix}\right| |\times \frac{1}{2} =\frac{5}{2}

第 16 題：

令 F_1(-3+0i), F_2(3+0i), P(z=x+yi), a=5, c=3，

P 點在複數平面上是位在以「F_1, F_2 為焦點，且半長軸長為 a 的橢圓上」，

得焦半徑 \displaystyle PF_1 = a+\frac{c}{a}x 且 \displaystyle PF_2 = a-\frac{c}{a}x。

由於 A(z_1),B(z_2),C(z_3) 到 F_1 的距離 AF_1, AF_2, AF_3 成等差，

可得 Re(z_1), Re(z_2), Re(z_3) 亦成等差， \displaystyle Re(z_1+z_3) = Re(z_1)+Re(z_3) = 2 Re(z_2) = \frac{5}{2}。

註： 　　以下推一下橢圓的左焦半徑的公式：

　　　　橢圓方程式：\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 ，其中 a^2=c^2+b^2。

　　　　令 P(x,y) 為橢圓上的點且左焦點 F_1(-c,0)

　　　　則 \displaystyle PF_1 = \sqrt{\left(x+c\right)^2+y^2} = \sqrt{\left(x+c\right)^2+b^2\left(1-\frac{x^2}{a^2}\right)}

　　　　　　　　　 \displaystyle = \sqrt{\left(1-\frac{b^2}{a^2}\right)x^2 +2cx + \left(b^2+c^2\right)}

　　　　　　　　　 \displaystyle = \sqrt{\frac{c^2}{a^2}x^2 +2cx +a^2}

　　　　　　　　　 \displaystyle = \sqrt{\left(\frac{c}{a}x+a\right)^2}

　　　　　　　　　又 -a\leq x\leq a，可知 \displaystyle -c\leq\frac{c}{a}x\leq c\Rightarrow \frac{c}{a}x+a>0

　　　　　　　　故 \displaystyle PF_1 = a+\frac{c}{a}x