第1題：

當 x9 時，y=20k=1x−k+3x+2  的各折線段斜率皆為負，

當 x9 時，y=20k=1x−k+3x+2  的各折線段斜率皆為正，

且因為 y=20k=1x−k+3x+2  的圖形為連續的折線段，

所以當 x=9 時，圖形有最低點，即 x=9 時，y 有最小值為 131 。


第 2 題：

因為 limx1x−122x2+a−x+b 為定值，

所以 limx12x2+a−x+b=0 

2+a−1+b=0a=b2−2b−1 

limx1x−122x2+a−x+b=limx1x−122x2+b2−2b−1−x+b

　　=limx12x2+b2−2b−1−x−b2x−122x2+b2−2b−1+x−b 

　　=limx1x2−1+2bx−1x−122x2−b−1+x−b 

　　=limx1x+1+2bx−1x−122x2−b−1+x−b 

　　=limx1x+1+2bx−12x2−b−1+x−b 

因為上式為定值，所以 limx1x+1+2b=0 

1+1+2b=0b=−1a=b2−2b−1=2



第 3 題：

當 −1x1 時，f(x)=limnx2n+1x2n−1+ax+b=ax+b

limx1−f(x)=a+b 且 limx−1+f(x)=−a+b

當 x1 或 x−1 時，f(x)=limnx2n+1x2n−1+ax+b=limn1+1x2nx−1+ax2n−1+bx2n=x1

limx1+f(x)=1 且 limx−1−f(x)=−1

當 x=1 時，f(1)=limn12n+112n−1+a+b=21+a+b

當 x=−1 時，f(−1)=limn−12n+1−12n−1−a+b=2−1−a+b

因為 f(x) 為連續函數，

所以 \displaystyle \lim_{x\to1^{+}}f(x)=\lim_{x\to1^{-}}f(x)=f(1) 且  \displaystyle \lim_{x\to-1^{+}}f(x)=\lim_{x\to-1^{-}}f(x)=f(-1)

\displaystyle \Rightarrow 1=a+b=\frac{1+a+b}{2} 且 \displaystyle -a+b=-1=\frac{-1-a+b}{2}

可解得 a=1, b=0

第 1 題補充觀察的方法：

易知 \displaystyle y=\sum_{k=1}^{20} \left|x-k\right| 在 10<x<11 之間，折線段斜率為 0

且每往右邊通過一個折點，斜率增加 2，每往左邊通過一折點，斜率減少 2，

故 \displaystyle y=\sum_{k=1}^{20} \left|x-k\right|+3x+2 （那個常數不是重點，重點是所有折線段的斜率都加 3 了）

會在 x>9 時，折線段斜率都為正，且當 x<9 時，折線段斜率都為負。

即當 x=9 時，圖形有最低點。



第 2 題另解：

令 f(x)=2x^2+a-\left(x-b\right)^2

因為 \left(x-1\right)^2\Bigg| f(x)

所以 f(1)=f\,'(1)=0

可解得 b=-1, a=2.