第 1 題：

此數列 1234510204080

其實就是 1234 以及剩下的 520521522523524



對任意正整數 M ，被 5 除之後，假設餘數為 r，則 r01234，

可將商以唯一的二進位表示法寫為 an2n+an−12n−1++a12+a0

其中 n 為非負數整數，anan−1an−2a1a001

且 ranan−1an−2a1a0 不全為零，

亦即

M= 除數 * 商 + 餘數

　=5an2n+an−12n−1++a12+a0+r 

　=an52n+an−152n−1++a152+a05+r


若 r=0，則 r 為此數列的前四項之中的一個，

若 r=0 則沒有取前四項之一，

若 ai=1 ，則表示有加上 52i (這個數字是此數列中的第 i+5 項)

若 ai=0 ，則表示沒有加上 52i (這個數字是此數列中的第 i+5 項)

第 2 題：

對於非負整數 i，第 i+1 列的數字即為 (x2+x+1)i 以 x 的升冪排列之後的係數。

以數學歸納法證明之。

1. 當 i=0 時， x2+x+10=1  為第 1 列的數字，成立。

2. 假設當 i=k 時，x2+x+1k=2kt=0atxt 

　 其中 <a_t>_{t=0}^{2k} 為題述第 k 列數字的數列，

　 則當 i=k+1 時，

　 \displaystyle \left(x^2+x+1\right)^{k+1}=\left(\sum_{t=0}^{2k}a_t x^t\right)\left(x^2+x+1\right)

　 \displaystyle =\sum_{t=0}^{2k}a_t x^{t+2}+\sum_{t=0}^{2k}a_t x^{t+1}+\sum_{t=0}^{2k}a_t x^t

　 \displaystyle =\sum_{t=2}^{2k+2}a_{t-2} x^t+\sum_{t=1}^{2k+1}a_{t-1} x^t+\sum_{t=0}^{2k}a_t x^t

　 \displaystyle =\left(a_{2k-1}x^{2k+1}+a_{2k}x^{2k+2}+\sum_{t=2}^{2k}a_{t-2} x^t\right)+\left(a_0x+a_{2k}x^{2k+1}+\sum_{t=2}^{2k}a_{t-1} x^t\right)+\left(a_0+a_1x+\sum_{t=2}^{2k}a_t x^t\right)

　 \displaystyle =a_0+\left(a_0+a_1\right)x+\sum_{t=2}^{2k}\left(a_{t-2}+a_{t-1}+a_t\right)x^t+\left(a_{2k-1}+a_{2k}\right)x^{2k+1}+a_{2k}x^{2k+2}

　 依照題述規律，可知 \displaystyle \left(x^2+x+1\right)^{k+1} 以 x 的升冪排列之後的係數亦為題述第 k+1 列數字的數列，亦成立。

由 1. & 2. 及數學歸納法原理，可知對於任意非負整數 i，第 i+1 列的數字即為 \displaystyle (x^2+x+1)^i 以 x 的升冪排列之後的係數。



因此，將 x=1 帶入 \displaystyle (x^2+x+1)^i 即可得第 i+1 列的數字和為 3^i 。

觀察前後列規律而得。