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原帖由 s6423579 於 2012-11-13 09:29 AM 發表
若 a+b+c =10 , 求 abc+ab+ac+bc的最大值 ? (amc的試題)

取 a=2k+10b=−kc=−k，其中 kR

則 a+b+c=10 且 abc+ab+bc+ca=2k3−7k2−20k

當 k 時，abc+ab+bc+ca。

故，abc+ab+bc+ca 無最大值。


註：題目的 abc 如果沒有「其它限制」的話，所求是沒有最大值的。

如果題目如 2000 年 AMC 的原始題目為 abc 是"非負整數"且 a+b+c=12 的話，

則 abc+ab+bc+ca=(1+a)(1+b)(1+c)−1−(a+b+c)=(1+a)(1+b)(1+c)−13



由算幾不等式，可得 3(1+a)+(1+b)+(1+c)3(1+a)(1+b)(1+c)125(1+a)(1+b)(1+c) 

　　　　　　　　　　 112(1+a)(1+b)(1+c)−13

　　　　　　　　　　 112abc+ab+bc+ca

且當等號成立時，a=b=c=4。



註：把 (1+a)(1+b)(1+c) 乘法展開～會有 abc1ab1bc1ac11a11b11c111 各一個，

　　所以 (1+a)(1+b)(1+c)=abc+ab+bc+ca+a+b+c+1

　　　　 abc+ab+bc+ca=(1+a)(1+b)(1+c)−1−(a+b+c)

abc+ab+ac+bc 就是 abc 任選三個相乘，加上～任選兩個相乘～

就會想說～其它的（任選一個、零個相乘）跑去哪裡了？

全部補齊的話，就是 abc+ab+bc+ca+a+b+c+1

可是～那就是 (1+a)(1+b)(1+c) 呀！

所以把 (1+a)(1+b)(1+c) 扣掉題目沒有的 a+b+c+1，就會是題目要問的 abc+ab+ac+bc 了！