第 3 題：

因為 x=1，所以 1+x+x2++xn=1−x1−xn

將上式左右兩邊同時對 x 微分，可得 1+2x+3x2++nxn−1=(1−x)2−nxn−1(1−x)−(1−xn)(−1)

即 1+2x+3x2++nxn−1=(1−x)2nxn−xn−nxn−1+1

將上式左右兩邊同時乘上 x，可得  x+2x2+3x3++nxn=(1−x)2nxn+1−xn+1−nxn+x

將上式左右兩邊同時對 x 微分，然後左右兩邊同時乘上 x，即可得所求。

第 5 題：

將第一、二式表示成 (x−b)+(y−c)+(z−a)=0b(x−b)+c(y−c)+a(z−a)=0 

可得 (x−b):(y−c):(z−a)=1c1a:1a1b:1b1c=(a−c):(b−a):(c−b)

令 x−b=k(a−c)y−c=k(b−a)z−a=k(c−b)

即 x=b+k(a−c)y=c+k(b−a)z=a+k(c−b)

再帶入題目所給之第三式，可得 (a2+b2+c2−ab−bc−ca)(k+1)=0

因為 abc 為三相異實數，

所以 a2+b2+c2−ab−bc−ca=21(a−b)2+(b−c)2+(c−a)2=0 

故， k=−1

即 x=b+c−ay=a+c−bz=a+b−c

第 1 題：

任取－沒有選到偶數－沒有選到５＋沒有選到偶數且沒有選到５

＝H55−H53−H54+H52=55

第 2 題：

所求＝15k=1C32k+1 

　　　=15k=13!(2k+1)(2k)(2k−1) 

　　　=15k=134k3−k 

　　　=34215162−3121516 

　　　=19160

第 16 題：

令 F(x)=ax3+bx2+cx+d，則

F(x+1)−F(x)=3ax2+(3a+2b)x+(a+b+c)

解 3a=−63a+2b=−4a+b+c=4

可得 a=−2b=1c=5

因此，F(x)=−6x2+2x+5

F(2)=−15

第 20 題：

設 an 等比數列的公比為 r 且 r>0，

令 S_{10}=a, r^{10}=t，則

2^{10}(a+at+at^2)-(2^{10}+1)(a+at)+a=0

因為 a>0, t>0，所以可得 \displaystyle t=\frac{1}{1024}\Rightarrow r=\frac{1}{2}

\displaystyle\Rightarrow  nS_n=n\cdot\frac{\frac{1}{2}\cdot\left(1-\frac{1}{2^n}\right)}{1-\frac{1}{2}}=n-\frac{n}{2^n}

因此 <nS_n> 的前 n 項和 \displaystyle  T_n = \sum_{k=1}^n k S_k = \sum_{k=1}^n\left(k-\frac{k}{2^k}\right)

　　　\displaystyle  =\sum_{k=1}^n k -\sum_{k=1}^n \frac{k}{2^k}

　　　\displaystyle  =\frac{n(n+1)}{2}-\frac{n\left(\frac{1}{2}\right)^{n+1}-\left(\frac{1}{2}\right)^{n+1}-n\left(\frac{1}{2}\right)^{n}+\frac{1}{2}}{\left(1-\frac{1}{2}\right)^2}

再化簡一下就可以得到標準答案的那個樣子了。


註：最後一行可以參考之前我回覆第 3 題的中間步驟（\displaystyle x=\frac{1}{2} 代入）。

第 8 題：

三次曲線 y=x^3+3x^2-24x 與水平線 y=-a 有三個相異交點，

且其中有兩個交點的 x 坐標為正，一個交點的 x 坐標為負。

如下圖：

qq.png (7.41 KB)

2012-8-14 15:52

可得 -28<-a<0\Rightarrow 0<a<28

第 21 題：

\displaystyle P(\mbox{丟四顆骰子一次，恰兩顆點數相同}) = \frac{C^4_2 \cdot 6\cdot5\cdot4}{6^4} = \frac{5}{9}

\displaystyle \Rightarrow P(\mbox{丟四顆骰子一次，沒有恰兩顆點數相同的情況}) = 1-\frac{5}{9}=\frac{4}{9}

設滿足題述時，最少應投擲 n 次，則

\displaystyle 1-\left(\frac{4}{9}\right)^n>0.9


\displaystyle \Leftrightarrow \left(\frac{4}{9}\right)^n<0.1

兩邊取 \log 得 n>2.xxxxxxx

\Rightarrow n 至少為 3。

第 7 題：

設兩圓連心線與其中一條外公切夾角為 \theta

則 \displaystyle \tan\theta=\frac{7-6}{\sqrt{\left(7+6\right)^2-\left(7-6\right)^2}}=\frac{1}{2\sqrt{42}}

設外公切線斜率為 m，

則 \displaystyle \tan\theta=\pm\frac{m-\frac{-12}{5}}{1+m\cdot\frac{-12}{5}}

\displaystyle \Rightarrow m=\frac{-30\pm\sqrt{42}}{12}

再加上外切兩圓的內公切線斜率 \displaystyle \frac{5}{12}，

可得所求＝\displaystyle -\frac{55}{12}。

半角公式＋餘弦定理

\displaystyle\cos\frac{A}{2} = \sqrt{\frac{1+\cos A}{2}} =\sqrt{\frac{1+\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}}{2}}

　　　\displaystyle=\sqrt{\frac{\left(b+c\right)^2-a^2}{4bc}}=\sqrt{\frac{\frac{a+b+c}{2}\cdot\frac{-a+b+c}{2}}{bc}}=\sqrt{\frac{s\left(s-a\right)}{bc}}