單選第 5 題：
若limn(13+23++n3)(14+24++n4)(12+22++n2)(15+25++n5)=ab(ab為整數，且ab為一最簡分數)，則a+b=？
(A)37　(B)29　(C)22　(D)19。
[解答]
來個另解，

所求＝limn41n3+O(n3)51n5+O(n4)31n3+O(n2)61n6+O(n5) 

　　　=limn120n9+O(n8)118n9+O(n8)

　　　=1820=910

填充題第 4 題：
設f(x)g(x)分別為二次及三次的多項式，且滿足(1−4x)[f(x)+x(f(x))2]=1+x3g(x)，則多項式f(x)=　　　。
[解答]
x=0 帶入題目所給的條件，可得 f(0)=1

令 f(x)=ax2+bx+1 帶入 1−4xfx+xfx2 

展開～（不用全寫出來啦～只要找出展開後 x 的一次與二次項係數就好～）

展開後按升冪排列，可得 1+(b−3)x+(a−2b−4)x2+=1+x3g(x)

因此 b−3=0 且 a−2b−4=0a=10b=3，

故 f(x)=10x2+3x+1

剛剛用 excel 算了一下，照定義算出來的國文標準差為 8.92... ，數學標準差為 7.48...，兩者相關係數為 6.64...

聯招版的答案沒有給錯。

計算第 1 題：
求拋物線y=−x2+3x與兩直線y=x、y=2x所圍的區域面積=　　　。
[解答]

qq.png (39.16 KB)

2012-6-4 11:49

所求＝紅色區域＋綠色區域＝2112+12−x2+3xdx−21 

選擇1.
設ai123456789，i=129為相異9個整數，若有3個3位數，a1a2a3，a4a5a6，a7a8a9之乘積為最大，其中a1=9，問a2a3為下列哪一數？
(A)87　(B)81　(C)63　(D)41
[解答]
題述三個三位數越大越好，

可知 a1a4a7987

　　 a2a5a8654

　　 \Rightarrow a_3,a_6,a_9\in\left\{3,2,1\right\}

此時，可得 a_1a_2a_3 + a_4a_5a_6+a_7a_8a_9 為定值，

由算幾不等式可推知，當 a_1a_2a_3,\, a_4a_5a_6,\, a_7a_8a_9 這三個三位數間互相越接近時，此三數的乘積越大，

得此三數為 941, 852, 763 時，三數乘積為最大。

選擇第6題：
n為正整數且n\le 110，則滿足(sin\theta+i cos\theta)^n=sin n\theta+i cos n\theta之所有n其總和=
(A)1851　(B)1750　(C)1540　(D)2320
[解答]
Key: 要先化成極式，才能用隸美弗定裡喔！

\displaystyle\left( \sin \theta +i\cos \theta  \right)^n=\left[ \cos \left( \frac{\pi }{2}-\theta  \right)+i\sin \left( \frac{\pi }{2}-\theta  \right) \right]^n

\displaystyle=\cos \left( \frac{n\pi }{2}-n\theta  \right)+i\sin \left( \frac{n\pi }{2}-n\theta  \right)


且因為 \displaystyle\sin n\theta +i\cos n\theta =\cos \left( \frac{\pi }{2}-n\theta  \right)+i\sin \left( \frac{\pi }{2}-n\theta  \right)

所以，\displaystyle\frac{n\pi }{2}-n\theta 與 \displaystyle\frac{\pi }{2}-n\theta 為同界角，

亦即 \displaystyle\frac{n\pi }{2}-n\theta =\frac{\pi }{2}-n\theta +2k\pi \Rightarrow n=4k+1（其中 k 為整數），

因為 110=4\times 27+2，

所以滿足題意的所有 n 之和＝\displaystyle 1+5+9+\cdots +\left( 4\times 27+1 \right)=\frac{28\left( 2\times 1+27\times 4 \right)}{2}=1540

選擇第8題：
若\displaystyle \frac{1}{1}+\frac{1}{1+(1+2)}+\frac{1}{1+(1+2)+(1+2+3)}+\frac{1}{1+(1+2)+(1+2+3)+(1+2+3+4)}
\displaystyle +\ldots+\frac{1}{1+(1+2)+(1+2+3)+\ldots+(1+2+3+4+5+\ldots+18+19+20)}=\frac{b}{a}(a,b為整數，且\displaystyle \frac{b}{a}為一最簡分數)，則下列哪些選項為真？
(A)a為7之倍數　(B)b>120　(C)a<b　(D)a+b>199
[解答]
Key: 利用 sigma 處理分母，然後再分項對消！

所求＝\displaystyle \sum\limits_{k=1}^{20}{\frac{1}{\sum\limits_{t=1}^{k}{\left( \sum\limits_{i=1}^t i\right)}}}=\sum\limits_{k=1}^{20}{\frac{1}{\sum\limits_{t=1}^{k}{\frac{t\left( t+1 \right)}{2}}}}=\sum\limits_{k=1}^{20}{\frac{2}{\sum\limits_{t=1}^{k}{{{t}^{2}}}+\sum\limits_{t=1}^{k}{t}}}

　　　\displaystyle =\sum\limits_{k=1}^{20}{\frac{2}{\frac{k\left( k+1 \right)\left( 2k+1 \right)}{6}+\frac{k\left( k+1 \right)}{2}}}=\sum\limits_{k=1}^{20}{\frac{6}{k\left( k+1 \right)\left( k+2 \right)}}

　　　\displaystyle =3\sum\limits_{k=1}^{20}{\left[ \frac{1}{k\left( k+1 \right)}-\frac{1}{\left( k+1 \right)\left( k+2 \right)} \right]}=3\left[ \frac{1}{1\cdot 2}-\frac{1}{21\cdot 22} \right]

　　　\displaystyle =\frac{115}{77}

選擇第 9 題： thepiano 老師有解了 http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?t=2831#p7696

不要選太極端的點，帶入回歸直線之後，等號左右兩邊就不會差很多。

然後就可以求出相關係數的近似值，真是有創意的方法。：Ｄ

選擇7.
設y=f(x)為三次函數，若(101,2012)、(103,2016)、(104,2009)、(105,2020)在函數圖形上，則f(102)=
(A)2013　(B)2023　(C)2033　(D)2043
[解答]
有朋友問的選擇第 7 題，

稍微偷懶一下~

令 f(102)=2000+a

（三次）　2012,　2000+a, 2016,　 2009,　 2020
　　　　　　＼　／　＼　／　＼　／　＼　／
（二次）　　 a-12　　16-a　　 -7　　　11
　　　　　　　　＼　／　＼　／　＼　／　
（一次）　　 　　28-2a　　a-23　　18
　　　　　　　　　　＼　／　＼　／
（常數）　　　 　　　3a-51　　41-a
　　　　　　　　　　　　＼　／
（零多項式）　　　　　　　92-4a

92-4a=0 → a=23

因此 f(102)=2023