填充題第 5 題：

17−3(mod10)

174(−3)41(mod10)

而 1717=16+1171(mod4) 

所以，1717171717(mod10)

填充第 6 題：

既然 rn 收斂，就先來求一下極限值好了，

令 limnrn=k，則 k=25k−kk=0

好吧，回到正題，來求 a2

先將題目給的式子改寫成 rn−21rn−1=2(rn−1−21rn−2)

再列出如下列 n−2 個式子，

rn−21rn−1=2(rn−1−21rn−2)

rn−1−21rn−2=2(rn−2−21rn−3)

rn−2−21rn−3=2(rn−3−21rn−4)

‧‧‧‧‧‧

r3−21r2=2(r2−21r1)

case i: 若 r2−21r1=0，則 r3−21r2=0

　　　　r4−21r4=0rn−21rn−1=0

　　　　將上列 n−2 個式子相乘，可得 rn−21rn−1=2n−2r2−21r1 

　　　　r2−21r1=2n−2rn−21rn−1

　　　　（有沒有發現到，等號左邊是定數，右邊卻會隨 n 而改變）

　　　　因為 r2−21r1 是常數時，因此 limn2n−2rn−21rn−1=r2−21r1

　　　　另一方面，因為 limnrn=0，所以 limn2n−2rn−21rn−1=0

　　　　可得 r2−21r1=0，矛盾。
　　　　　（注意：是〝等於〞不是〝趨近〞）

case ii: 若 r2−21r1=0，則 r2=21r1=22003

填充第 8 題：設 g(x) 及 f(x) 分別為一元六次多項式且 g(x)=f(x)−a=0，當 a=246810 時，

g(x)=0的根分別為 1, 2, 3, 4, 5，求 f(10)+f(-4) 之值為_____________.




解答：

令 h(x)=f(x)-2x，則 h(x) 為六次多項式且

h(1)=f(1)-2=g(1)=0, h(2)=f(2)-4=g(2)=0, \cdots, h(5)=f(5)-10=g(5)=0

由因式定理，可知 h(x) 有因式 (x-1),(x-2),\cdots,(x-5)

且因為 h(x) 為六次多項式，可令 h(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)(bx+c)

則 f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)(bx+c)+2x

f(10)+f(-4)=\left[9\cdot8\cdot7\cdot6\cdot5\left(10b+c\right)+20\right]+\left[(-5)\cdot(-6)\cdot(-7)\cdot(-8)\cdot(-9)\left(-4b+c\right)-8\right]

　　　=9\cdot8\cdot7\cdot6\cdot5\cdot14\cdot b+12=211680b+12



怪哉，題目是否有疏漏？好像漏掉首項係數為 1 （b=1）的條件了？還是小弟哪裡眼花了嗎？

填充第 11 題：設袋中有 4 個紅球， 6 個黑球，今自袋中隨機一次取一個球出來，共取 3 次，取法分別為 (i) 取後放回， (ii) 取後不放回；兩種情形， (i) 及 (ii) ，分別取到紅球個數的期望值為 a 及 b ，求 a + b = ______________.


解答：
\displaystyle a=b=3\cdot\frac{4}{4+6}=\frac{6}{5}

或是也可以寫

\displaystyle a=3\cdot C^3_3\left(\frac{4}{10}\right)^3+2\cdot C^3_2\left(\frac{4}{10}\right)^2\left(\frac{6}{10}\right)+1\cdot C^3_1\left(\frac{4}{10}\right)\left(\frac{6}{10}\right)^2+0\cdot C^3_0\left(\frac{6}{10}\right)^3=\frac{6}{5}

\displaystyle b=3\cdot\frac{C^3_3 4\cdot3\cdot2}{10\cdot9\cdot8}+2\cdot\frac{C^3_2 4\cdot3\cdot6}{10\cdot9\cdot8}+1\cdot\frac{C^3_1 4\cdot6\cdot5}{10\cdot9\cdot8}+0\cdot\frac{C^3_0 6\cdot5\cdot4}{10\cdot9\cdot8}=\frac{6}{5}



\displaystyle \Rightarrow a+b=\frac{6}{5}+\frac{6}{5}=\frac{12}{5}

填充第 12 題：設 x,y,z 均為實數，且滿足 x^2+y^2+z^2=2(2y-x-3z)，求 2x-4y+6z+38 的最大值及最小值之和為_________________.

解答：

x^2+y^2+z^2=2(2y-x-3z)

\Rightarrow (x+1)^2+(y-2)^2+(z+3)^2=14

由柯西不等式，可得

\left((x+1)^2+(y-2)^2+(z+3)^2\right)\left(1^2+\left(-2\right)^2+3^2\right)\geq \left((x+1)-2(y-2)+3(z+3)\right)^2

\Leftrightarrow 14^2\geq \left(x-2y+3z+14\right)^2

\Leftrightarrow -14\leq x-2y+3z+14\leq14

\Leftrightarrow -28\leq x-2y+3z\leq0

\Leftrightarrow -56\leq 2x-4y+6z\leq0

\Leftrightarrow -18\leq 2x-4y+6z+38\leq38

得 2x-4y+6z+38 的最大值與最小值分別為 38 與 -18

所求＝38+(-18)=20

填充第 14 題：設 a, b 為二正整數，已知它們的最小公倍數為 2^6\times3^2\times11^2\times13，則這樣的正整數對 (a, b) 共有多少組?_____________.

解答：

先來討論一下 a 與 b 當中 2 這個質因數分配得情況好了～

因為最小公倍數有恰含有 2^6，

所以 a 與 b 至少有一個質因數分解之後恰含有 2^6

　　另一個寫成標準分解式之後可能有 2^0,2^1,2^2,\cdots,2^6

因此，a 與 b 當中 2 的因數分配情況可能有 2\cdot7-1 種。

（扣掉的那個是重複計算的，也就是 a 與 b 剛好都恰含有 2^6 的因數～被重複計算的次數）



其它同理，

因此，可得所求為 (2\cdot7-1)(2\cdot3-1)(2\cdot3-1)(2\cdot2-1)=975 種。

填充第 13 題：

先來研究一下規律好了～

想像有一排燈按照 a_na_{n-1}a_{n-2}a_{n-3}\cdots a_3a_2a_1 排列～

對照到剛剛那串排列順序～有出現 a_k 則 a_k 位置亮燈（寫成 1），

沒出現 a_k 則 a_k 位置不亮燈（寫成 0），

第一個位置對應到 → 0000000\cdots00000

第二個位置對應到 → 0000000\cdots00001

第三個位置對應到 → 0000000\cdots00010

第四個位置對應到 → 0000000\cdots00011

第五個位置對應到 → 0000000\cdots00100

第六個位置對應到 → 0000000\cdots00101

第七個位置對應到 → 0000000\cdots00110

第八個位置對應到 → 0000000\cdots00111

　　　　　　　　　　 \cdots\cdots\cdots

看出來了嗎？ 第 k 個位置對應到的就是 k-1 的二進位數值

因為 155=128+16+8+2+1=2^7+2^4+2^3+2^1+2^0

所以要亮燈的分別是 a_8, a_5, a_4, a_2, a_1

因此，排在第 156 位置的是 a_1a_2a_4a_5a_8.

其實昨天我看到這題的想法也跟你差不多，不過我是解讀成~~

I 當作是乘法單位元素，

然後每一群的元素就是把前面的每個元素從右邊乘上新增加的元素

I
^-------接下來要增加的是把前面的元素，由右邊乘上 a1，也就是增加 a1

I, [a1]
^^^^^^--------接下來要增加的是把前面的元素，由右邊乘上 a2，也就是增加 a2,a12

I, [a1], [a2, a12]
^^^^^^^^^^^^^^^^--------接下來要增加的是把前面的元素，由右邊乘上 a3，也就是增加 a3, a13, a23, a123

I, [a1], [a2, a12], [a3, a13, a23, a123]
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^--------接下來要增加的是把前面的元素，由右邊乘上 a4，也就是增加 a4, a14, a24, a124, a34, a134, a234, a1234

I, [a1], [a2, a12], [a3, a13, a23, a123], [a4, a14, a24, a124, a34, a134, a234, a1234], .........

不過後來想想，上面這個規律與二進位是相同的，所以就用二進位來處理比較方便。

不過如果每群新增加的元素排列的規律，如 tuhunger 老師所提的，或許也有可能～

畢竟題目是用＂以此類推＂四個字，每個人找到的規律的確有可能不同，

而數列，除非題目有詳細說明規律，不然若純以條列的方式，的確下一個元素是誰都可以。

：）

填充第１３題，前面已經解了。

其實最小公倍數那題前面也解了………==

填充第 15 題：

令 \displaystyle f(x)=\int_4^x \frac{1}{2+t^2}dt\Rightarrow f\,'(x)=\frac{1}{2+x^2}

則 y=-f(1+3x^2)

\displaystyle y\,'=-f\,'(1+3x^2)\cdot(1+3x^2)'=-\frac{1}{2+(1+3x^2)^2}\cdot(6x)=\frac{-2x}{1+2x^2+3x^4}