題目：(1) 在ΔABC的 BC上取D,E兩點,使得BD=DE=EC 。又在AB 上取一點G,使得AG=2*GB 。設F為AC之中點,而DF 與 EG交於H,求EH:HG

解答：

　　

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2012-3-7 19:22

若將 F 與 DE 的中點 I 連線，顯然 ABFI

因此，FD 與 AB 的延長線會有交點，

　　

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2012-3-7 19:22

設 FD 與 AB 的延長線交於點 P，

　　

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2012-3-7 19:22

如上圖，用孟氏定理（式子就不詳列了）


可得 AB=BPBP=3BG

　　

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2012-3-7 19:22

如上圖，用孟氏定理（式子就不詳列了）


可得 EH:HG=3:4

註：另外也可以坐標化，或是用向量，也是好方法。

題目：(2) 設P為拋物線y^2 =4x上一點,Q為圓(x–3)^2+y^2 = 1上一點,求PQ 之最小值及此時Q點的坐標

分析：

設 (x–3)2+y2=1 的圓心為 O，


　　

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2012-3-7 19:44

對於任意的動點 P，當 Q 位在 OP 與圓的交點上時，

PQ 會有最小值為 「OP−圓的半徑」。

因此只要先找拋物線上哪點距離圓心 O 最接近就可以了。




答案：

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2012-3-7 19:44

設 (x–3)2+y2=1 的圓心為 O，

拋物線上動點 P(t22t)，其中 t 為實數，

OP2=(t2−3)2+(2t−0)2=t4−2t2+9=t2−12+8 

因此，當 t2=1，即 t=1 時，

OP 會有最小值為 22 ，

此時 Q 位在 OP 與圓 (x–3)2+y2=1 的交點上，

亦會使得 PQ 有最小值。

當然，已知 O,P 點坐標，也知道 \overline{OP}, \overline{OQ} 的長度，

就可以利用分點公式，得 Q 點坐標了。