0≦x≦3，已知f(x)=4^x+k×2^x+3有最大值19，求實數k=?

題目：設 0x3，f(x)=4x+k2x+3有最大值19,求實數k=?       

解答：

令 t=2x，

因為  0x3，所以  202x231t8

且 f(x)=t2+kt+3

當 t=1 時，f(x)=k+4，

當 t=8 時，f(x)=8k+67，



因為 y=t2+kt+3 的圖形為開口向上拋物線，且 1t8 表示只截取一小段部分的圖形，

所以 f(x) 的最大值只有可能發生在當 t=1 或 t=8 時，

case i: 最大值發生在當 t=1時，

　　　　此時 12+k1+3=19k=15 ，

　　　　y=t2+15t+3 拋物線的頂點之 x 坐標=−2151，

　　　　此時 f(x) 最大值是當 t=8 的時候，最大值為 82+158+319 ，矛盾！

case i: 最大值發生在當 t=8時，

　　　　此時 82+k8+3=19k=−6 ，

　　　　y=t2−6t+3 拋物線的頂點之 x 坐標=3，

　　　　此時 f(x) 最大值是當 t=8 的時候，合！

由 case i & ii，可得 k=-6.