100基隆高中二招

上面只有解到 f(xy)3A 

但，沒有說明為何 3A  的最小值～會是發生在當 A=B=C 時。

當 A=B=C 時，是當  f(xy)3A 

　　　　　　　　　　　　　　　 ^^^^^^ 的等號成立時，

但該解法漏掉說明，何以 3A32 

　　　　　　　　　　　　　　^^^^^^^ 的等號會成立？





以下提供兩個做法～

解一：

　　A=2x+2y+2

　　B=x+3y+1

　　C=2x+4y−1

　　因為上面三個等號的右手邊只有兩個未知數，

　　所以一定會滿足特定關係式（想想如何拼湊～以消掉 xy），

　　找出其關係式如下 A+2B−2C=6

　　由柯西不等式，可得

　　　　(A2+B2+C2)(1+22+(−2)2)(A+2B−2C)2

　　　　(A2+B2+C2)936

　　　　A2+B2+C22 

　　且當等號成立時，

　　　　12x+2y+2=2x+3y+1=−22x+4y−1

　　可解得 x=6−7y=21




解二：

　　(2x+2y+2)2+(x+3y+1)2+(2x+4y−1)2

　　=9x2+30xy+29y2+6x+6y+6

　　=(3x+5y+1)2+4y2−4y+5

　　=(3x+5y+1)2+(2y−1)2+4

　　0+0+4=4

　　所以，

　　(2x+2y+2)2+(x+3y+1)2+(2x+4y−1)22 

　　且當等號成立時，

　　　　3x+5y+1=0 且 2y−1=0

　　可解得 x=6−7y=21

　　（還是有人不喜歡解二的配方，想改用微分也可以！）