當 a0 時，

四面體體積不就 0 了。

題目沒有漏掉條件嗎？

第 3 題：

設 x1x2xn 的算術平均數為 x，標準差為 Sx，

　 y1y2yn 的算術平均數為 y，標準差為 Sy，

　 u1u2un 的算術平均數為 u，標準差為 Su，

　 v1v2vn 的算術平均數為 v，標準差為 Sv，

　 X 與 Y 的相關係數為 rXY，U 與 V 的相關係數為 rUV，


＜＜先來看看已知蝦咪＞＞

因為 y 對 x 的迴歸直線為 y=a+bx，

所以 y=a+bx 且 b=rXYSxSy



＜＜再來看看最後是找出來蝦咪東西，寫過程的時候這一塊通常反而是會很後面才說～＞＞
｜
｜　　v 對 u 的迴歸直線必通過 (uv)，
｜
｜　　且其斜率為 rUVSvSu
｜
└──────────────────────────＜其實這塊只是在思考接下來要怎樣走～不用寫啦＞


＜＜好吧，要把這兩者扯再一起了～＞＞

因為 u=c+dx，所以 u=c+dxx=du−c

因為 v=e+fy，所以 \displaystyle \overline{v}=e+f\overline{y}\Rightarrow \overline{y}=\frac{\overline{v}-e}{f}

因為 \overline{y}=a+b\overline{x}，所以 \displaystyle \frac{\overline{v}-e}{f}=a+b\left(\frac{\overline{u}-c}{d}\right)　　　───（＊）

且

\displaystyle r_{UV}\cdot\frac{S_v}{S_u}=\frac{df}{|df|}r_{XY}\cdot\frac{|f|S_y}{|d|S_x}

　　　　　　　　\displaystyle =\frac{df}{|d|^2}\cdot r_{XY}\cdot\frac{S_y}{S_x}

　　　　　　　　\displaystyle =\frac{f}{d}\cdot b



＜＜再來招喚剛剛思考的那塊～＞＞

因為 v 對 u 的迴歸直線必通過 (\overline{u},\overline{v})，

且其斜率 \displaystyle r_{UV}\cdot\frac{S_v}{S_u}=\frac{f}{d}\cdot b

因此，v 對 u 的迴歸直線為

\displaystyle v-\overline{v}=\frac{f}{d}\cdot b(u-\overline{u})

\displaystyle \Rightarrow \frac{v-\overline{v}}{f}=\frac{b}{d}(u-\overline{u})

\displaystyle \Rightarrow \frac{(v-e)-(\overline{v}-e)}{f}=\frac{b}{d}\left((u-c)-(\overline{u}-c)\right)

\displaystyle \Rightarrow \frac{v-e}{f}-\frac{\overline{v}-e}{f}=\frac{b(u-c)}{d}-\frac{b(\overline{u}-c)}{d}

將（＊）帶入可得

\displaystyle \Rightarrow \frac{v-e}{f}-a=\frac{b(u-c)}{d}

\displaystyle \Rightarrow \frac{v-e}{f}=a+b\cdot\frac{u-c}{d}

結束。





然後，下次如果是考填充題，那就～

把 \displaystyle u=c+dx, v=e+fy\Rightarrow x=\frac{u-c}{d}, y=\frac{v-e}{f} 帶入 y=a+bx

即可得 \displaystyle \frac{v-e}{f}=a+b\cdot\frac{u-c}{d}

第 12 題：

已知 p(0)=a_0 為奇數，且 p(1)=a_n+a_{n-1}+\cdots+a_0 亦為奇數，

假設 p(x)=0 有整數根 \alpha，

若 \alpha 為偶數，則

　　p(\alpha)=a_n\alpha^n+a_{n-1}\alpha^{n-1}+\cdots+a_1\alpha+a_0\equiv a_0\equiv 1\pmod{2}

　　\Rightarrow p(\alpha)\not\equiv0\pmod2 此與 p(\alpha)=0 互相矛盾。

若 \alpha 為奇數，則

　　p(\alpha)=a_n\alpha^n+a_{n-1}\alpha^{n-1}+\cdots+a_1\alpha+a_0

　　　　　　　　\equiv a_n\cdot1^n+a_{n-1}\cdot1^{n-1}+\cdots+a_1\cdot1+a_0

　　　　　　　　\equiv a_n+a_{n-1}+\cdots+a_0 \equiv 1\pmod{2}

　　\Rightarrow p(\alpha)\not\equiv0\pmod2 此與 p(\alpha)=0 互相矛盾。

因此，p(x)=0 既無偶數根，亦無奇數根，

可得 p(x)=0 無整數根。

第 1 題：設 A,B,C,D 表 z^4−z^2+1=0 之四根在複數平面上的對應點，又 P 表複數 i 在複數平面上的對應點，則 \overline{PA}\cdot\overline{PB}\cdot\overline{PC}\cdot\overline{PD}＝？

解答：

設 f(x)=z^4-z^2+1=(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma)(x-\delta)

\overline{PA}\cdot\overline{PB}\cdot\overline{PC}\cdot\overline{PD}=\left|i-\alpha\right|\cdot\left|i-\beta\right|\cdot\left|i-\gamma\right|\cdot\left|i-\delta\right|

　　　　　　　=\left|\left(i-\alpha\right)\left(i-\beta\right)\left(i-\gamma\right)\left(i-\delta\right)\right|

　　　　　　　=\left|f(i)\right|=\left|i^4-i^2+1\right|=3