97南港高工

第 6 題 (2)：當方程式 x2−2x=kx+1 恰有 4 個相異實根時，

k 值之範圍為何？


解答：

x2−2x=kx+1 恰有四個相異實根

y=x2−2xy=kx+1  恰有四個交點

其中 y=kx+1 是通過 01  且斜率為 k 的直線

所以，畫出 y=x2−2x 的圖形之後，



看通過 01  的直線中，當斜率為何時恰與上述圖形交於相異四點，

可得 −21k21




第 8 題：求經過 (−1−2)(04)(21)(4−1) 之等軸雙曲線方程式。

解答：設所求方程式為 x2+bxy−y2+dx+ey+f=0，將題目所給的四點帶入，可解得 bdef 之值。

思考過程：

等軸雙曲線的兩漸近線必互相垂直；反之，若雙曲線的兩漸近線互相垂直，則其為等軸雙曲線。

若等軸雙曲線的一漸近線為 a1x+b1y+k1=0，則另一漸近線必為 b1x−a1y+k2=0，

則雙曲線方程式為 a1x+b1y+k1b1x−a1y+k2=c ，其中 c 為非零實數，

乘開之後可得 x2 與 y2 的係數必〝異號〞或同時為 0（也就是 a1 或 b1 其中有一個為 0 啦）。

所以我們可以假設等軸雙曲線的方程式為 ax2+bxy−ay2+dx+ey+f=0，

然後將四點帶入，解方程式時將 abde 都用 f 表示，寫出方程式後，除掉 f

或是，直接假設等軸雙曲線的方程式為 x2+bxy−y2+dx+ey+f=0，

將四點帶入後，解的出來就ＯＫ，

解不出來就是兩漸近線分別平行 x 軸與 y 軸，此時再假設等軸雙曲線方程式為 xy+dx+ey+f=0 即可。


（除了這樣解釋，當然您也可以透過標準化的等軸雙曲線，

經過旋轉、平移後，再來解釋 x2 與 y2 項的係數和=0，也可以。）