標題: 95中一中 [打印本頁]

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作者: Duncan    時間: 2010-6-29 21:54     標題: 95中一中

想請問各位老師計算第三題如何下手?

附件: 95台中一中.pdf (2022-7-15 14:55, 120.13 KB) / 該附件被下載次數 12224
https://math.pro/db/attachment.php?aid=261&k=bcbb4b1b17b807eab66f46caac848547&t=1732478989

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作者: bugmens    時間: 2010-6-29 22:37

h ttp://forum.nta.org.tw/examservice/search.php　連結已失效
請善用全文搜尋，請選"高中職教甄考古題讀書交流區"
搜尋關鍵字為"四面體內切球"，搜尋結果"考古題分享...."
就有這題的答案

另外搜尋關鍵字改為"中一中"，還有其他題目的解答

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作者: Duncan    時間: 2010-6-29 23:01

老師你好，我找過了，裡面沒有耶。

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作者: 八神庵    時間: 2010-6-30 00:47

引用:

原帖由 Duncan 於 2010-6-29 11:01 PM 發表
老師你好，我找過了，裡面沒有耶。

你問的是計算第三題,我找過是沒有
bugmens大誤會你的意思,幫你找乙部份的第三題....
這一個行列式要採用行提列灌
每行提x_i,再灌回到相對應的列上
就變成一個平方的行列式
再把每一列加到第一列
提出來之後再把第一行乘負1加到其他四行
變得一個上三角行列式,而其Trace為五個1
最後再利用根與係數求出提出來的那一個括號就ok啦.....Ans:3

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作者: bugmens    時間: 2010-6-30 08:50

原來是我搞錯了

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作者: weiye    時間: 2010-6-30 09:21

我把八神庵回覆的內容詳細打下來好了。
（我都打完字了，不ＰＯ上來也浪費。＝ ＝）


計算第 3 題：

設方程式 \(x^5-2x^4 + x^3 + 1=0\) 之五根為 \(x_1 , x_2 , x_3 , x_4 , x_5\)，設 \(a_{ij} = 1+ x_i x_j\) (若 \(i = j\))，\(a_{ij} = x_i x_j\) (若 \(i\neq j\) )，

試求 \(\displaystyle\left|\begin{array}{ccccc} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} & a_{15} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} & a_{25} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34} & a_{35} \\
a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44} & a_{45} \\
a_{51} & a_{52} & a_{53} & a_{54} & a_{55}
\end{array}\right|\) 之值？



解答：

令 \(x_1=a , x_2=b , x_3=c , x_4=d , x_5=e\)，則所求如下，

\(\displaystyle \left|\begin{array}{ccccc}
1+a^2 & ab & ac & ad & ae \\
ab & 1+b^2 & bc & bd & be \\
ac & bc & 1+c^2 & cd & ce \\
ad & bd & cd & 1+d^2 & de \\
ae & be & ce & de & 1+e^2
\end{array}\right|\)

\(\displaystyle =\left|\begin{array}{ccccc}
1+a^2 & b^2 & c^2 & d^2 & e^2 \\
a^2 & 1+b^2 & b^2 & d^2 & e^2 \\
a^2 & b^2 & 1+c^2 & d^2 & e^2 \\
a^2 & b^2 & c^2 & 1+d^2 & e^2 \\
a^2 & b^2 & c^2 & d^2 & 1+e^2
\end{array}\right|\)


\(\displaystyle =\left|\begin{array}{ccccc}
1+a^2+b^2+c^2+d^2+e^2 & b^2 & c^2 & d^2 & e^2 \\
1+a^2+b^2+c^2+d^2+e^2 & 1+b^2 & b^2 & d^2 & e^2 \\
1+a^2+b^2+c^2+d^2+e^2 & b^2 & 1+c^2 & d^2 & e^2 \\
1+a^2+b^2+c^2+d^2+e^2 & b^2 & c^2 & 1+d^2 & e^2 \\
1+a^2+b^2+c^2+d^2+e^2 & b^2 & c^2 & d^2 & 1+e^2
\end{array}\right|\)


\(\displaystyle =\left(1+a^2+b^2+c^2+d^2+e^2\right)\left|\begin{array}{ccccc}
1 & b^2 & c^2 & d^2 & e^2 \\
1 & 1+b^2 & b^2 & d^2 & e^2 \\
1 & b^2 & 1+c^2 & d^2 & e^2 \\
1 & b^2 & c^2 & 1+d^2 & e^2 \\
1 & b^2 & c^2 & d^2 & 1+e^2
\end{array}\right|\)


\(\displaystyle =\left(1+a^2+b^2+c^2+d^2+e^2\right)\left|\begin{array}{ccccc}
1 & b^2 & c^2 & d^2 & e^2 \\
0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 1
\end{array}\right|\)

\(\displaystyle =1+a^2+b^2+c^2+d^2+e^2\)

\(\displaystyle =1+\left(a+b+c+d+e\right)^2-2\left(ab+ac+ad+ae+bc+bd+be+cd+ce+de\right)\)

\(\displaystyle =1+2^2-2\times1\)

\(\displaystyle =3\)


證明對任意正整數 \(n\)，恆有
\[1+\frac{1}{8}+\frac{1}{27}+\frac{1}{64}+\cdots+\frac{1}{n^3}<1.25\].


證明：

先觀常一般項，
\[\frac{1}{n^3} < \frac{1}{n^3-n}=\frac{1}{\left(n-1\right)n\left(n+1\right)} = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{\left(n-1\right)n}-\frac{1}{n\left(n+1\right)}\right),\;\forall n>1.\]

所以，

\[1+\frac{1}{8}+\frac{1}{27}+\frac{1}{64}+\cdots+\frac{1}{n^3} < 1+\frac{1}{1\cdot2\cdot3} + \frac{1}{2\cdot3\cdot4}+\cdots+\frac{1}{\left(n-1\right)n\left(n+1\right)}\]
\[=1+\frac{1}{2}\left\{\left(\frac{1}{1\cdot2}-\frac{1}{2\cdot3}\right)+\left(\frac{1}{2\cdot3}-\frac{1}{3\cdot4}\right)+\cdots+\left(\frac{1}{\left(n-1\right)n}-\frac{1}{n\left(n+1\right)}\right)\right\} = 1+\frac{1}{4} -\frac{1}{2n\left(n+1\right)}<\frac{5}{4}.\]

故，對任意正整數 \(n\)，\(\displaystyle 1+\frac{1}{8}+\frac{1}{27}+\frac{1}{64}+\cdots+\frac{1}{n^3}<1.25\) 恆成立.

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作者: Duncan    時間: 2010-7-1 00:06

謝謝各位老師

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作者: moemiau    時間: 2010-7-2 15:51     標題: 回復 2# bugmens 的帖子

為何「全國教師會選聘服務網」我無法進去呀?
會出現"對不起.管理員封禁了您的 IP 地址.聯系管理員請點擊這裡"訊息!
管理員也無法聯繫!!
誰知道出了什麼問題?要找誰解決呀??

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作者: 八神庵    時間: 2010-7-2 22:54

引用:

原帖由 moemiau 於 2010-7-2 03:51 PM 發表
為何「全國教師會選聘服務網」我無法進去呀?
會出現"對不起.管理員封禁了您的 IP 地址.聯系管理員請點擊這裡"訊息!
管理員也無法聯繫!!
誰知道出了什麼問題?要找誰解決呀?? ...

這位仁兄
這裡是weiye大提供的空間,跟全教會選聘網無關啦
只是希望說別讓討論數學的空間沒了,並順便實驗"數學式顯示"....
關於全教會選聘網的問題
請看以下連結
http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?f=53&t=1545

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作者: ibvtys    時間: 2021-4-23 00:05

想請教乙部分的(2)(4)

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作者: thepiano    時間: 2021-4-23 07:41     標題: 回復 10# ibvtys 的帖子

第 2 題
若一個直角三角形的三邊長恰好是方程式\(x^3-30x^2+281x-a=0\)的三個根，其中\(a\)為某實數，試求此直角三角形的面積。
[解答]
令三根為 p、q、r，其中 r 是斜邊長

p^2 + q^2 = r^2
p + q + r = 30
pq + qr + rp = 281

2r^2 = p^2 + q^2 + r^2 = 30^2 - 2 * 281 = 338
r = 13
三邊為 5、12、13


第 4 題
試證明\(\displaystyle \lim_{n\to \infty}(1+\frac{1}{8}+\frac{1}{27}+\frac{1}{64}+\ldots+\frac{1}{n^3})<1.25\)
[解答]
利用 1/k^3 < 1/[(k - 1)k(k + 1)] = (1/2){1/[(k - 1)k] - 1/[k(k + 1)]}
k 從 2 到 n

111.7.18補充
https://math.pro/db/thread-728-1-1.html

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作者: ibvtys    時間: 2021-4-23 08:54     標題: 回復 11# thepiano 的帖子

鋼琴老師不好意思 , 我是想問填充題乙部分的(2)(4) , 不過剛好計算4也不會 , 就順便解決了 , 感謝.

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作者: thepiano    時間: 2021-4-23 09:22     標題: 回復 12# ibvtys 的帖子

唉，年紀大了，有老花 ...


第 2 題
設\(P\)為\(\Delta ABC\)的\(BC\)邊上一點，且\(\overline{PB}=\overline{AC}=a\)，若\(\displaystyle\angle BAP=\frac{1}{3}\angle PAC=30^{\circ}\)，則\(\overline{PC}=\)　　　。
[解答]
PC = x
AP = √(x^2 - a^2)

△ABC = (1/2) * AB * a * sin120度
△ABP = (1/2) * AB * √(x^2 - a^2) * sin30度

利用 △ABC / △ABP = (x + a) / a 即可求出

113.2.2補充
In the diagram line segments \(AB\) and \(CD\) are of length 1 while angles \(ABC\) and \(CBD\) are \(90^{\circ}\) and \(30^{\circ} \)respectively. Find \(AC\).
(1986Canadian Mathematical Olympiad，https://cms.math.ca/competitions/cmo/)

113.5.13補充
\(\Delta ABC\)中，\(D\)在\(\overline{BC}\)上，其中\(\overline{AB}=\overline{CD}\)，\(\angle CAD=30^{\circ}\)、\(\angle BAD=90^{\circ}\)，則\(secB=\)　　　。
(107北一女中，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=2999&page=1#pid18935)

設\(P\)為\(\Delta ABC\)中\(\overline{BC}\)上一點，\(\overline{PB}=\overline{AC}=a\)，\(\displaystyle \angle BAP=\frac{1}{3}\angle PAC=\frac{\pi}{6}\)，求\(\overline{PC}=\)　　　
(111家齊高中，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=3626&page=1#pid23850)

第 4 題
已知橢圓：\(\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)過\(P(3\sqrt{3},1)\)其中\(a>0,b>0\)，求\(a+b\)之最小值=　　　。
[解答]
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1072&page=1#pid2814

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作者: ibvtys    時間: 2021-4-25 11:42     標題: 回復 13# thepiano 的帖子

了解~感謝!!

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