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標題: 99松山工農 [打印本頁]

作者: bugmens 時間: 2010-6-16 23:39 標題: 99松山工農

題目如附件

附件: 99松山工農.rar (2010-6-16 23:39, 105.44 KB) / 該附件被下載次數 12814
https://math.pro/db/attachment.php?aid=226&k=ecf2f97a2719909f99bae0b0ef893fb3&t=1732279213

作者: bugmens 時間: 2010-6-16 23:43

2.設\( \overline{AB} \)的長度為d，P是以\( \overline{AB} \)為直徑的半圓上的一個動點，且\( ∠PAB=\theta \)。令\( \overline{PA}+\overline{PB}=x \)
(1)將\( sin^6 \theta+cos^6 \theta \)表示成x的函數。(2)求\( sin^6 \theta+cos^6 \theta \)的最小值，並求此時θ和x的值。
[提示]
\( \displaystyle sin \theta+cos \theta =\frac{x}{d} \)，\( \displaystyle sin \theta \cdot cos \theta=\frac{1}{2} \Bigg(\; \frac{x^2}{d^2}-1 \Bigg)\; \)
令\( f(n)=sin^n \theta+cos^n \theta \)，\( f(n)=(sin \theta+cos \theta)f(n-1)-(sin \theta \cdot cos \theta)f(n-2) \)

\( \displaystyle f(1)=\frac{x}{d} \)，\( f(2)=1 \)
\( \displaystyle f(3)=-\frac{x^3}{2d^3}+\frac{3x}{2d} \)

\( \displaystyle f(4)=-\frac{x^4}{2d^4}+\frac{x^2}{d^2}+\frac{1}{2} \)

\( \displaystyle f(5)=-\frac{x^5}{4d^5}+\frac{5x}{4d} \)

\( \displaystyle f(6)=-\frac{3x^4}{4d^4}+\frac{3x^2}{2d^2}+\frac{1}{4} \)

7.請問\( 0.9<0.\overline{9}<1 \)嗎？並請說明。
[提示]
我們教出的學生說\( 2.\overline{9} < 3 \)
http://www.google.com/search?cli ... a&ie=utf-8&oe=utf-8

8.(2)設n為大於1的自然數，證明\( \displaystyle (n!)^3<n^n \Bigg(\; \frac{n+1}{2} \Bigg)\; ^{2n} \)
[解答]
\( \displaystyle n!< \Bigg(\; \frac{n+1}{2} \Bigg)\; ^n \)
(98南港高工)
http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?t=342782

\( \displaystyle n!< \Bigg(\; \frac{n+1}{2} \Bigg)\; ^n \)

\( \displaystyle n!< \Bigg(\; \frac{n+1}{2} \Bigg)\; ^n \)

\( \displaystyle n!<n^n \)

三式相乘

9.何謂「母體標準差」？何謂「樣本標準差」？請問你如何向學生說明「母體標準差」與「樣本標準差」這兩者公式為何不同？
[提示]
從標準差除以 n 或除以 n - 1 談起
https://math.pro/db/thread-398-1-3.html
http://www.google.com/search?cli ... a&ie=utf-8&oe=utf-8

[ 本帖最後由 bugmens 於 2010-6-26 11:16 PM 編輯 ]

作者: Jacob 時間: 2010-6-18 20:57 標題: 請問第 3 ，4，5，8之(1) 應如何做，謝謝。

請問第 3 ，4，5，8之(1) 應如何做，感謝各位高手幫忙。

作者: 八神庵 時間: 2010-6-25 21:05

引用:

原帖由 Jacob 於 2010-6-18 08:57 PM 發表
請問第 3 ，4，5，8之(1) 應如何做，感謝各位高手幫忙。

8之(1)是n維空間的三角不等式

作者: weiye 時間: 2010-6-26 13:24

第 1,3,4 題，見 thepiano 老師所解的 http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?p=3950#p3950

第 5 題

題目：設 \(\alpha,\beta,\gamma\) 為三個相異的複數，\(\omega\) 是 \(1\) 的立方根，若 \(\alpha+\omega\beta+\omega^2\gamma=0\)，試問在複數平面上表示 \(\alpha,\beta,\gamma\) 的三點成什麼圖形？

解答：

因為 \(1=-\omega-\omega^2\)

所以 \(\displaystyle\omega^2\left(\gamma-\alpha\right)= -\omega\left(\beta-\alpha\right)\)

\(\displaystyle\Rightarrow\left(\gamma-\alpha\right) = -\frac{1}{\omega}\left(\beta-\alpha\right)\)

　　　　　　\(\displaystyle= \left(-\cos\left(-120^\circ\right) - i \sin\left(-120^\circ\right)\right)\left(\beta-\alpha\right)\)

　　　　　　\(\displaystyle= \left(\cos 60^\circ + i \sin 60^\circ\right)\left(\beta-\alpha\right)\)

若將 \(\alpha, \beta, \gamma\) 都平移到以 \(\alpha\) 為新原點，

則平移後之 \(\beta\) 點坐標與 \(\gamma\) 點坐標，剛好是以新原點為圓心旋轉 \(60^\circ\) 之關係，

故， \(\alpha,\beta,\gamma\) 三點形成的圖形為正三角形。

作者: Jacob 時間: 2010-6-26 17:58 標題: 感謝瑋岳老師的講解

感謝瑋岳老師的講解

作者: moemiau 時間: 2010-6-26 19:33 標題: 回復 5# weiye 的帖子

為何有些字看不到呢？
請問要如何處理？

作者: weiye 時間: 2010-6-26 20:26 標題: 回復 7# moemiau 的帖子

jsMath 是透過 JavaScript 在執行的，

也就是不同的電腦、瀏覽器，

可能顯示效果與速度都會有些微差異，

你可以試試看猶如 https://math.pro/db/announcement.php?id=2 所寫，

安裝 TeX 字型，或許會有更好的顯示效果。

（雖然我在家裡沒有安裝 TeX 字型的電腦顯示效果也很好。）

或是改試用不同的瀏覽器看看，如 FireFox or Chrome.

作者: 老王 時間: 2010-6-26 20:42

引用:

原帖由 weiye 於 2010-6-26 01:24 PM 發表
第 1,3,4 題，見 thepiano 老師所解的 http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?p=3950#p3950

第 5 題

題目：設 \(\alpha,\beta,\gamma\) 為三個相異的複數，\(\omega\) 是 \(1\) 的立方根，若 \(\alpha+\omega\) ...

唉，第五題
五天前我在知識+回答了，可是晾到今天人家還是不懂~~~

作者: liengpi 時間: 2010-8-8 05:18

請問有考的老師知道幾分通過初試嗎?
感謝

作者: kittyyaya 時間: 2010-11-19 01:12

引用:

原帖由 bugmens 於 2010-6-16 11:43 PM 發表
2.設\( \overline{AB} \)的長度為d，P是以\( \overline{AB} \)為直徑的半圓上的一個動點，且\( ∠PAB=\theta \)。令\( \overline{PA}+\overline{PB}=x \)
(1)將\( sin^6 \theta+cos^6 \theta \)表示成x的函數。(2)求 ...

想請問各位老師,第2題的x函數,我將f(x)作微分找到x=0或+-d,可是,PA+PB=0,必錯,那PA+PB=d,就無法形成三角形了,請問該如何求得最小值,謝謝

作者: weiye 時間: 2010-11-19 20:41

第2題：設 \( \overline{AB}\) 的長度為 \(d\)，\(P\) 是以 \(\overline{AB}\) 為直徑的半圓上的一個動點，且 \( ∠PAB=\theta \)。令 \(\overline{PA}+\overline{PB}=x \)，

(1) 將 \( \sin^6 \theta+\cos^6 \theta \) 表示成 \(x\) 的函數。

(2) 求 \(\sin^6 \theta+\cos^6 \theta \) 的最小值，並求此時 \(\theta\) 和 \(x\) 的值。

解答：

\(\displaystyle x=d\cos\theta+d\sin\theta\Rightarrow \frac{x}{d}=\sin\theta+\cos\theta\leq\sqrt{2}\)

且由 \(\displaystyle x\geq d>0\) ，可得 \(\displaystyle 1\leq\frac{x}{d}\leq\sqrt{2}\Rightarrow1\leq\frac{x^2}{d^2}\leq2.\)

\(\sin^6\theta+\cos^6\theta=\left(\sin^2\theta+\cos^2\theta\right)^3-3\sin^2\theta\cos^2\theta\left(\sin^2\theta+\cos^2\theta\right)\)

　　\(\displaystyle=1-3\sin^2\theta\cos^2\theta=1-3\left(\frac{\left(\sin\theta+\cos\theta\right)^2-1}{2}\right)^2=-\frac{3}{4}\left(\frac{x^2}{d^2}-1\right)^2+1\)

故，

當 \(x=d\) 時，\(\sin^6 \theta+\cos^6 \theta \) 有最大值為 \(1\)。

當 \(x=\sqrt{2}d\) 時，\(\sin^6 \theta+\cos^6 \theta \) 有最小值，

　　此時 \(\sin\theta+\cos\theta=\sqrt{2}\)，且由 \(0^\circ\leq\theta\leq90^\circ\)，

　　可得 \(\theta=45^\circ\)，且 \(\sin^6 \theta+\cos^6 \theta \) 的最小值為 \(\displaystyle\sin^6 45^\circ+\cos^6 45^\circ=\frac{1}{4}\)。

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https://math.pro/db/attachment.php?aid=871&k=a60a7d1291b32b84a477497f8ed75378&t=1732279213

作者: mathelimit 時間: 2014-10-26 14:23

請教第五題， w是 1 的立方根，不是應該會有三種情形? 另外兩個就如同瑋岳老師的解法，但若w=1時，則該如何知道那三點會形成正三角形?

作者: thepiano 時間: 2014-10-26 15:32 標題: 回復 13# mathelimit 的帖子

題目出錯了，應為 w 是 1 的"虛"立方根

作者: mathelimit 時間: 2014-10-26 19:00 標題: 回復 14# thepiano 的帖子

果然~ 謝謝呀 XD

作者: satsuki931000 時間: 2019-1-16 13:56

第八題不等式另解不曉得這樣的寫法有無哪些地方不合理
小弟拙見還望版上大師賜教

圖片附件: 50438563_287710378769305_1731226339773513728_n.jpg (2019-1-16 13:56, 462.18 KB) / 該附件被下載次數 5012
https://math.pro/db/attachment.php?aid=4773&k=6e69a2f4421404426a7e3a884901cb44&t=1732279213

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