標題: 99彰化藝術高中 [打印本頁]

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作者: bugmens    時間: 2010-6-9 00:00     標題: 99彰化藝術高中

題目和答案如附件

附件: 99彰化藝術高中.rar (2010-6-9 00:00, 34.45 KB) / 該附件被下載次數 12334
https://math.pro/db/attachment.php?aid=210&k=aca3dd4054b2ff54ab999211f43dbcaa&t=1713618744

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作者: bugmens    時間: 2010-6-9 00:01

1.設a為實數，使得\( a+log_2 3 \)，\( a+log_4 3 \)，\( a+log_8 3 \)形成等比數列，求此公比為？
[出處，94高中數學能力競賽　北區第二區　筆試二試題]


13.
\( \displaystyle 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{23}=\frac{a}{23!} \)，若a除以13的餘數為b，求\( b^3+2b \)除以100的餘數為？
[提示]
a化簡後得23!/13，b=7

已知\( n!=1 \times 2 \times ... \times (n-1) \times n \)；若\( \displaystyle \frac{2}{3!}+\frac{3}{4!}+\frac{4}{5!}+...+\frac{11}{12!}=\frac{A}{12!} \)，試求A除以10的餘數為何？
(建中通訊解題第62期)


16.p為\( 4x^2+9y^2=36 \)上的動點，若p在第一象限移動，過p點之切線交X軸於A點，交Y軸於B點，O為原點，求\( \overline{OA}+\overline{OB} \)最小值？
[解答]
令p(a,b)，\( \displaystyle \frac{a^2}{9}+\frac{b^2}{4}=1 \)
切線\( \displaystyle \frac{a}{9}x+\frac{b}{4}y=1 \)，\( \displaystyle \overline{OA}+\overline{OB}=\frac{9}{a}+\frac{4}{b} \)
廣義科西不等式
\( \displaystyle \Bigg[\; \Bigg(\; \frac{a^{\frac{2}{3}}}{9^{\frac{1}{3}}} \Bigg)\; ^3+ \Bigg(\; \frac{b^{\frac{2}{3}}}{4^{\frac{1}{3}}} \Bigg)\; ^3 \Bigg]\;
\Bigg[\; \Bigg(\; \frac{9^{\frac{1}{3}}}{a^{\frac{1}{3}}} \Bigg)\; ^3+ \Bigg(\ \frac{4^{\frac{1}{3}}}{b^{\frac{1}{3}}} \Bigg)\ ^3 \Bigg]\;
\Bigg[\; \Bigg(\; \frac{9^{\frac{1}{3}}}{a^{\frac{1}{3}}} \Bigg)\; ^3+ \Bigg(\ \frac{4^{\frac{1}{3}}}{b^{\frac{1}{3}}} \Bigg)\ ^3 \Bigg]\;
\ge \Bigg(\; 9^{\frac{1}{3}}+4^{\frac{1}{3}} \Bigg)\;^3 \)

17.θ為銳角，\( \displaystyle \frac{16}{sin^6 \theta}+\frac{81}{cos^6 \theta}=625 \)，求\( tan \theta \)？
(2005TRML個人賽)
這題可用廣義科西不等式解題
請見　https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=1#pid1075

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作者: peter579    時間: 2010-7-29 10:42

第4、6、8題請教一下。

請問第3題    9<K  是如何判讀出來的。謝謝。

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作者: 老王    時間: 2010-7-29 12:46

引用:

原帖由 peter579 於 2010-7-29 10:42 AM 發表
第4、6、8題請教一下。

請問第3題    9

第8題
在\(\Delta ABC\)中，\(\overline{AB}=7,\overline{BC}=8,\overline{AC}=9\)，過\(\Delta ABC\)的內心作\(\overline{DE}\)平行\(\overline{BC}\)，分別交\(\overline{AB}\)與\(\overline{AC}\)於點\(D\)、\(E\)，求\(\overline{DE}=\)　　　。
[解答]
假設I為內心，AI交BC於P，那麼
AI:IP=(7+9):8=2:1
所以DE=8*(2/3)=16/3

也可以參考一下關於這類三角形的幾個其他的性質
h ttp://tw.myblog.yahoo.com/oldblack-wang/article?mid=2909&prev=2915&next=2425&l=f&fid=11　連結已失效

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作者: iamcfg    時間: 2010-7-29 12:59     標題: 回復 3# peter579 的帖子

4.
求\(f(x)=x^{10}-2x^5+3x^2-1\)被\((x+1)^3\)除的餘式=　　　。
[提示]
提供幾個方向
硬算  XD
二項式定理    \( [(x+1)-1]^{10}-2[(x+1)-1]^5+3[(x+1)-1]^2-1 \)

6.
函數\(f(93)=93\)，每一正整數\(n\)使得\(f(n)+f(n+3)=n^2\)恆成立，求\(f(30)=\)　　　。
[提示]
\( f(90)+f(93)=90^2 \)
\( f(87)+f(90)=87^2 \)
…
\( f(30)+f(33)=30^2 \)
想辦法消嚕

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作者: peter579    時間: 2010-7-29 13:10

6  
    f(93)-f(30)=90^2-(87^2+84^2+……+30^2) 接下來呢…

平方和，好像不行…。研究中…。

第一題是有同樣的題目，但找不到解。研究中。


第十六題  答案為(根號221)/4  ，好像沒有三次方根…有點看不懂。

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作者: iamcfg    時間: 2010-7-29 23:42     標題: 回復 6# peter579 的帖子

\( f(90)+f(93)=90^2 \)   --------  1
\( f(87)+f(90)=87^2 \)   --------  2
\( f(84)+f(87)=84^2 \)   --------  3
\( f(81)+f(84)=81^2 \)   --------  4
.....

1-2+3-4........
try it

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作者: weiye    時間: 2010-7-30 09:06

\(\displaystyle 87^2+84^2+……+30^2\Rightarrow\mbox{ 利用 }\sum\left(k+3\right)^2=\sum k^2 + 6\sum k +\sum 9\)

不過，第 6 題，應該是用 iamcfg 上面寫的，再加上平方差公式。

第 16 題答案為第 P 格，其值與上方 bugmens 回覆作法的結果相同，peter579 應該是不小心看錯答案格了。^_^

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作者: peter579    時間: 2010-7-30 14:35

謝，第六題看比較懂了。

第一題，有人可以提示一下如何作呢。

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作者: weiye    時間: 2010-7-30 22:37

第 1 題：
設\(a\)為實數，使得\(a+log_2 3\)、\(a+log_4 3\)、\(a+log_8 3\)形成等比數列，求此公比為　　　。
[解答]
\( a+\log_2 3 \)，\( a+\log_4 3 \)，\( a+\log_8 3 \)形成等比數列

\(\displaystyle \Rightarrow \left(a+\log_4 3\right)^2=\left(a+\log_2 3\right)\cdot\left(a+\log_8 3\right)\)

\(\displaystyle \Rightarrow \left(a+\frac{1}{2}\log_2 3\right)^2=\left(a+\log_2 3\right)\cdot\left(a+\frac{1}{3}\log_2 3\right)\)

解得 \(\displaystyle a=-\frac{1}{4} \log_2 3\)，

因此，數列為 \(\displaystyle\frac{3}{4} \log_2 3,\,\frac{1}{4} \log_2 3,\,\frac{1}{12} \log_2 3\)，

故，公比為 \(\displaystyle \frac{1}{3}\)。

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作者: icesnow1129    時間: 2011-5-13 13:55

想請教14 15 17
17題bugmens大有說可以利用廣義柯西來做，到底用廣義柯西下手到底要先考慮什麼?
想我看著17題，想用廣義柯西就是想不出所以然(嘆
感謝解惑!!
板上的高手們幫解惑都讓我感到受益良多，真的非常感謝!!!

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作者: 老王    時間: 2011-5-13 17:49     標題: 回復 11# icesnow1129 的帖子

14
h ttp://tw.myblog.yahoo.com/oldblack-wang/article?mid=506&prev=509&next=505&l=f&fid=17　連結已失效
這篇給你參考

15
點\((3,3)\)在拋物線\(y=x^2+(a+1)x+b\)上(其中\(a,b\)為固定的實數)，且此拋物線上的點\((x,y)\)均滿足\(y\ge x\)，則拋物線的頂點到原點的距離=　　　。
[解答]
99台北縣簡答第四題，一模一樣的題目，連數字都沒改。
題目的意思就是這個拋物線在(3,3)的切線就是\(y=x\)
計算切線斜率得到\(6+(a+1)=1\)
\(a=-6\)
代入\((3,3)\)得到\(b=9\)
剩下的應該沒問題了
答案是
\(\displaystyle \frac{1}{4} \sqrt{221} \)

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作者: aonzoe    時間: 2011-5-15 21:01

引用:

原帖由 老王 於 2011-5-13 05:49 PM 發表

15
99台北縣簡答第四題，一模一樣的題目，連數字都沒改。
題目的意思就是這個拋物線在(3,3)的切線就是y=x
計 ...

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請問題目說y>=x，為何得知在(3,3)的切線是y=x？
謝謝！

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作者: 老王    時間: 2011-5-15 21:36

引用:

原帖由 aonzoe 於 2011-5-15 09:01 PM 發表

----------------------
請問題目說y>=x，為何得知在(3,3)的切線是y=x？
謝謝！

(3,3)在拋物線上，如果拋物線和y=x還有其他交點，那麼必然有些點在y=x下方，
就不滿足y>=x的條件，所以拋物線和y=x僅有一個交點。
而y=x和拋物線的軸不平行，所以y=x是拋物線的切線。

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作者: aonzoe    時間: 2011-5-15 23:08     標題: 回復 14# 老王 的帖子

我是用
y=x^2+(a+1)x+b>=x
即y=x^2+ax+b>=0 =>a^2-4b<=0
推得a,b值

你的方法快多了，謝謝！

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作者: ejo3vu84    時間: 2011-6-1 15:53

想請教第9題和第10題

第9題除了傻傻的硬算
我最多用了個反矩陣還是要算蠻久的
應該有更快的方法??

第10題完全不知道在問什麼!@@

請老師們給我點方向
謝謝



自解一下第9題
剛剛想到可以用線代的特徵方程式
det(A-xI)=0

這樣快很多

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作者: 老王    時間: 2011-6-1 17:31     標題: 回復 16# ejo3vu84 的帖子

第10題
一多面體，每一頂點均由2個正方形及1個正五邊形所組成，求此多面體有幾個頂點　　　。
[解答]
假設有\(x\)個正方形以及\(y\)個正五邊形構成
跟正五邊形相鄰的面，必然是正方形，否則就有頂點會接到兩個正五邊形；
跟正方形相鄰的四個面，必然是正五邊形、正方形、正五邊形、正方形，就是兩個正五邊形兩個正方形。
所以計算正方形和正五邊形相鄰的邊，從正方形的觀點是\(2x\)；
從正五邊形的觀點是\(5y\)，故有\(2x=5y\)
頂點數為\(\displaystyle V=\frac{4x+5y}{3}=2x\)
邊數為\(\displaystyle E=\frac{4x+5y}{2}=3x\)
面數為\(F=x+y\)
代入尤拉公式\(V-E+F=2\)得到\(y=2\)
故有\(x=5\)，頂點數為10

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作者: ejo3vu84    時間: 2011-6-1 18:23     標題: 回復 17# 老王 的帖子

謝謝老王~~

終於懂他在問什麼了@@"
感恩!!

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作者: maymay    時間: 2011-6-8 10:46     標題: 第13題還是算不出來,請教老師可以說明得更詳細嗎,謝謝

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作者: 八神庵    時間: 2011-6-8 15:01

引用:

原帖由 maymay 於 2011-6-8 10:46 AM 發表

http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?f=53&t=1528

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作者: maymay    時間: 2011-6-8 16:02     標題: 謝謝

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作者: tsusy    時間: 2013-7-11 23:00

要是大家眼力都有這麼好就好了，基本上，個人認為，這題是一題爛題目

類似題，次數比較低，倒是曾經硬暴(代換)因式分解解過它

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作者: weiye    時間: 2013-7-11 23:28

相同題目，主題合併討論。

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作者: nianzu    時間: 2013-12-20 14:55     標題: 請問一下填充第2題

請問一下
本題並沒有給a_1
那該如何下手??
謝謝!

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作者: thepiano    時間: 2013-12-20 15:38

第 2 題
參考 http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?f=53&t=1528

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作者: weiye    時間: 2013-12-20 15:52     標題: 回復 24# nianzu 的帖子

填充第 2 題：
正整數的遞增數列，\(a_1,a_2,a_3,\ldots\)符合\(a_{n+2}=a_{n+1}+a_n\)，其中\(n\ge 1\)。若\(a_7=120\)，求\(a_8=\)　　　。
[解答]
令 \(a_1=a, a_2=b\)

則 \(a_7=5a+8b=120\)

可知滿足 \(a,b\) 為正整數且 \(a<b\) 的數對 \((a,b)\) 只有一組解 \((8,10)\)

因此 \(a_8=8a+13b=194.\)



補充說明何以知道 \((a,b)\) 只有唯一一組解：

\(5a+8b=120\) 可先找得整數數對 \((a,b)\) 的通解 \((a,b)=(8t+24, -5t)\)，其中 \(t\) 為整數，

再解得滿足條件 \(b>a>0\) 的整數 \(t=-2\)，因此 \((a,b)=(8,10)\)

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作者: nianzu    時間: 2013-12-20 17:15     標題: 回復 26# weiye 的帖子

謝謝鋼琴老師   瑋岳老師!!
我了解了!!!
遞迴的題目真的好多!!而且解法真的也好多!!
謝謝老師們解惑~~
天氣冷~~請多保暖^^

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作者: kg325    時間: 2014-1-2 00:49     標題: 回復 4# 老王 的帖子

請教老王大大  你附上的連結已經不能使用了  
想請教還有什麼地方可以參考那相關的知識
謝謝！

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作者: shingjay176    時間: 2014-4-17 23:56     標題: 回復 11# icesnow1129 的帖子

17.
\(\theta\)為銳角，\(\displaystyle \frac{16}{sin^6 \theta}+\frac{81}{cos^6\theta}=625\)，求\(tan\theta=\)　　　。
[解答]
我也是測試了好幾種的廣義柯西不等式。
右手邊內積要只剩下數字。利用\(sin^2x+cos^2x=1\)
因此左手邊要有三組，跟原來那一組分母的6次方要消去。
因此就抓4次方的廣義柯西不等式

圖片附件: 157.jpg (2014-4-17 23:56, 208.76 KB) / 該附件被下載次數 5398
https://math.pro/db/attachment.php?aid=2104&k=5e591b566792f83324970aacfa585a8d&t=1713618744

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作者: mathca    時間: 2015-12-21 21:32     標題: 回復 1# bugmens 的帖子

請教第11題，http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?f=53&t=1528
設正面出現x次,反面y次,則
x+y=10,x-y=6,x=8,y=2
分母=C(10,2)=45,分子=C(9,2)-C(9,1)=27,則機率=27/45=3/5

C(9,2)是否為：正OOOO OOOOO 九個位置取兩個放"反"(即第一擲甲贏)
C(9,1) 就看不懂是甚麼意思了....

感謝。

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作者: tsusy    時間: 2015-12-21 22:57     標題: 回復 30# mathca 的帖子

可見
h ttp://activity.ntsec.gov.tw/activity/race-1/48/senior/040417.pdf　連結已失效
定理1：卡特蘭數的組合證明

另一篇 97家齊女中的，也可用此公式解之

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作者: thepiano    時間: 2015-12-22 09:08     標題: 回復 30# mathca 的帖子

11.
擲一公正硬幣;若正面，則甲得1分，乙扣1分;若反面，則甲扣1分，乙得1分。擲10後，在甲總分6分的情形下，求甲分數一直領先乙分數的機率　　　。
[解答]
C(9，2) 是 A 走到 B 的捷徑走法數，由於不能碰到紅線，故要扣掉經過 D 或 E 的方法數

由於對稱，上面要扣掉的方法數相當於 C 走到 B 的捷徑走法數 C(9，1)

圖片附件: 20151222.jpg (2015-12-22 09:08, 37.74 KB) / 該附件被下載次數 5746
https://math.pro/db/attachment.php?aid=3159&k=8640051724838a06bdef422c2b95c7b9&t=1713618744

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作者: mathca    時間: 2015-12-22 09:29     標題: 回復 32# thepiano 的帖子

感謝，可能沒徹底了解一路領先問題，看會了這題，無法套用到其他類似題。

請教  97家齊女中
袋中有4紅球，5白球，今自袋中每次取出一球，取出不放回，取完為止，則取球過程中，紅球個數不多於白球各書的機率為？

這題如何套用？

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作者: thepiano    時間: 2015-12-22 12:43     標題: 回復 33# mathca 的帖子

紅球個數不多於白球，代表白球個數不少於紅球，可碰到藍線，但不能碰到紅線

看圖體會一下吧

圖片附件: 20151222_2.jpg (2015-12-22 12:43, 52.89 KB) / 該附件被下載次數 5741
https://math.pro/db/attachment.php?aid=3160&k=b95f671c03961feb0070eb82c65a858c&t=1713618744

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作者: mathca    時間: 2015-12-22 13:28     標題: 回復 34# thepiano 的帖子

好像...看懂了一些...
從虛線左下角開始，向右一格後，剩下五個"─"、四個"│"，走法有 ：9！/ 5！*4！ 種
一樣扣除會碰到紅色的部分(相當於上半6X3方格走法)，

所以，算式：
C(9,4)-C(9,3)  / C(9,4)，這樣理解算正確？

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作者: thepiano    時間: 2015-12-22 13:40     標題: 回復 35# mathca 的帖子

正確

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作者: anyway13    時間: 2021-3-28 20:49     標題: 請教第7題

令設\(C(a,b)\)在所求直線\(L\)上，\(\vec{AC}=(a-4,b-8),\vec{AO}=(-4,-8),\vec{AB}=(4,4)\)
則由\(\displaystyle \vec{AC}\cdot \vec{AO}=|\;\vec{AC}|\; |\;\vec{AO}|\;cos \theta \Rightarrow cos\theta=\frac{-4a-8b+80}{\sqrt{(a-4)^2+(b-8)^2}\sqrt{80}}\ldots (1)\)
再由\(\displaystyle \vec{AC}\cdot \vec{AB}=|\;\vec{AC}|\; |\;\vec{AB}|\;cos \theta \Rightarrow cos\theta=\frac{4a+4b-48}{\sqrt{(a-4)^2+(b-8)^2}\sqrt{32}}\ldots (2)\)
\(\displaystyle By(1)(2)\Rightarrow (\sqrt{5}+\sqrt{2})a+(\sqrt{5}+2\sqrt{2})b=20\sqrt{2}+12\sqrt{5}\)，當\(\displaystyle a=12\Rightarrow b=\frac{32-8\sqrt{10}}{3}\)
考慮二點\(\displaystyle A(4,8),C(12,\frac{32-8\sqrt{10}}{3})\Rightarrow m=\frac{1-\sqrt{10}}{3}\)

板上老師好,請問第7題答案算出來總是差個負號
不知道是哪一步做錯了  過程如附件

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作者: satsuki931000    時間: 2021-3-28 21:15     標題: 回復 37# anyway13 的帖子

7.
從原點出發的一道光線，射在鏡面(視為一直線)上一點\(A(4,8)\)且反射到點\(B(8,12)\)，求鏡面的斜率　　　。
[解答]
先畫圖可知斜率為正，否則無法反射到題目要求的點
令鏡面斜率為\(m\)
有 \(\displaystyle \frac{2-m}{1+2m}=\frac{m-1}{1+m}\)
解得\(\displaystyle m=\frac{1\pm \sqrt{10}}{3}\)
取\(\displaystyle m=\frac{1+ \sqrt{10}}{3}\)

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作者: anyway13    時間: 2021-3-29 00:36     標題: 回復 38# satsuki931000 的帖子

謝謝satsuki931000老師  想通了

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作者: anyway13    時間: 2021-4-1 00:13     標題: 請教第20題

板上老師好   請教老師

y=1/(tan^2x+tanx+1)  因為y有解  tanx有實數解  D大於等於0,得到 0<= y<= (4/3)

但是接下來,log(9,y)  就矇了  因為y>0  得0<y<=(4/3)   那這樣的話,請教老師a ,b是怎模算出來的

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作者: Lopez    時間: 2021-4-1 02:20     標題: 回復 40# anyway13 的帖子

第20題
\(\displaystyle y=\frac{sec^2x-tanx}{sec^2x+tanx}\)，則\(f(y)=log_9 y\)的範圍為閉區間\([a,b]\)，求\(a^2+b^2=\)　　　。

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作者: BambooLotus    時間: 2021-4-1 08:49

補個另解，承上，\(u\in R\)
\(\displaystyle y=\frac{1+u^2-u}{1+u^2+u}\)，\((y-1)u^2+(y+1)u+(y-1)=0\)
由判別式得\((y+1)^2-4(y-1)^2=-3y^2+10y-3\ge0\)，...

不過微分的好處是就算\(u\)本身有範圍馬上也可以修正過程

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作者: anyway13    時間: 2021-4-2 01:51     標題: 回復 41# Lopez 的帖子 回復 42# BambooLotus 的帖子

謝謝Lopez和 BambooLotus兩位老師  熱心地答覆

知到哪裡出毛病了

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