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標題: 99桃園縣現職教師高中聯招 [打印本頁]

作者: bugmens    時間: 2010-5-16 14:31     標題: 99桃園縣現職教師高中聯招

請見附件

2010.5.26
感謝Joy091指正,複選第8題答案為(A)

附件: 99桃園縣現職教師高中聯招.rar (2010-5-26 23:41, 183.41 KB) / 該附件被下載次數 6089
https://math.pro/db/attachment.php?aid=187&k=c133cf94e27c41ed332c2f61644599ac&t=1632026871
作者: bugmens    時間: 2010-5-16 14:32

填充題
1.已知大於或等於正整數n的整數都可以表成\( 5a+14b+21c \)的形式,其中a,b,c為正整數,則n的最小值為?

對於大於n所有自然數均可表示為\( 6a+9b+20c \),其中a,b,c為非負整數,求最小的正整數n=?
(98北一女,https://math.pro/db/viewthread.php?tid=784&page=1#pid2077)

2010.12.10補充
假設小翔有無限多顆5克砝碼和13克砝碼,但他發現沒辦法組合出n克重量(\( n \in N \)),求n的最大值為
(RA148.swf)
公式:當正整數\( a,b \)互質時,不能用\( a,b \)組合出的最大正整數為\( ab-a-b \)

計算題
5.已知\( \displaystyle (1+4x)(1+4x^3)(1+4x^{3^2})(1+4x^{3^3})(1+4x^{3^4})(1+4x^{3^5}) \)乘開後,依升冪排列可以寫成
\( \displaystyle (1+4x)(1+4x^3)(1+4x^{3^2})(1+4x^{3^3})(1+4x^{3^4})(1+4x^{3^5})=1+b_1 x^{a_1}+b_2 x^{a_2}+b_3 x^{a_3}+...+b_{63} x^{a_{63}} \),
其中\( \langle\ a_n \rangle\ \),\( \langle\ b_n \rangle\ \)是兩個正整數的數列,且\( 1=a_1<a_2<a_3<...<a_{63} \)。
(1)試求\( a_{25} \)及\( b_{25} \)之值。
(2)試求\( a_1+a_2+a_3+...+a_{63} \)及\( b_1+b_2+b_3+...+b_{63} \)。
[提示]
(1)
25的二進位為11001
\( \matrix{243 & 81 & 27 & 9 & 3 & 1 \cr  & 1 & 1 & 0 & 0 & 1} \)
\( a_{25}=109 \),\( b_{25}=64 \)

(2)
\( a_1+a_2+a_3+...+a_{63}=(243+81+27+9+3+1) \times 32=11648 \)
\( b_1+b_2+b_3+...+b_{63}=(1+4)^6-1=12564 \)

其他相關題目請見
(我的教甄準備之路 多項式連乘)
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=2#pid2045

2010.5.18
感謝weiye提醒
\( (243+81+27+9+3+1) \times 32 \)應為11648

[ 本帖最後由 bugmens 於 2010-12-10 10:06 PM 編輯 ]
作者: arend    時間: 2010-5-17 23:16

請問bugman老師
這二進位怎麼看
有點迷網?請不吝告知
謝謝

還有計算第二題怎麼解
沒頭緒阿
作者: milkie1013    時間: 2010-5-19 19:44     標題: 回復 2# bugmens 的帖子

想請教以下這個部分
a1+a2+a3+...+a63=(243+81+27+9+3+1)32=11648
需不需要減1呢?
作者: weiye    時間: 2010-5-19 20:16

引用:
原帖由 milkie1013 於 2010-5-19 07:44 PM 發表
想請教以下這個部分
a1+a2+a3+...+a63=(243+81+27+9+3+1)32=11648
需不需要減1呢?
為什麼你會覺得需要減 1 呢?


\(a_1+a_2+\cdot+a_{63}=\) 〝由 \(1,3,3^2,\cdots 3^5\) 任取 \(1,2,3,4,5,6\) 個數字之和〞的和

其中 \(1,3,3^2,\cdots, 3^5\) 各會被加 \(2^{6-1}=32\) 次,

所以, \(a_1+a_2+\cdot+a_{63}=\left(1+3+3^2+\cdots+3^5\right)\times 2^5=11648.\)
作者: milkie1013    時間: 2010-5-19 20:50

喔~有個地方剛剛搞錯了><"
懂了~謝啦!!!
作者: milkie1013    時間: 2010-5-20 20:17

想請教大家(非選一):
已知大於或等於正整數n的整數都可以表成 5a+14b+21c 的形式,其中a,b,c為正整數,則n的最小值為?

以及   (非選六):

設 ABCD四點共圓,其中AC與BD互相垂直於點E,圓心O在三角形CDE內部,如圖所示。試找出圓內所有的點P使得三角形PAB與三角形PCD的面積相等;並請從教學觀點說明你(妳)的解題思路。 (10分)

謝謝大家
作者: Joy091    時間: 2010-5-26 16:07     標題: 回復 7# milkie1013 的帖子

(非選一)
首先 (a,b,c)=(1,1,1) 時, 5+14+21=40
故40,45,50,55,... (5k) 可被表示出來

考慮40+14=54, 得到(5k+4)在54之後可被表示

考慮40+21=61, 得到(5k+1)在61之後可被表示

考慮40+14+14=68, 得到(5k+3)在68之後可被表示

考慮40+14+14+14=82, 得到(5k+2)在82之後可被表示 (82也可以從40+21+21看出)

所以82之後都能被表示

回溯82之前第一個不能被表示的是77 (=5k+2)

所以本題答案是78
作者: Joy091    時間: 2010-5-26 17:37     標題: 回復 7# milkie1013 的帖子

(非選六):
設 ABCD四點共圓,其中AC與BD互相垂直於點E,圓心O在三角形CDE內部,如圖所示。試找出圓內所有的點P使得三角形PAB與三角形PCD的面積相等;並請從教學觀點說明你(妳)的解題思路。

若AB與CD平行,作一線同時垂直AB與CD,並交於兩點F與G,過線段FG的中點作直線平行AB並交圓於M,N,
則線段MN即為所求。

若不平行,延長兩線段之後交於F,作角AFD的分角線,將E對此分角線作對稱點E',連接FE'之直線交圓於M,N,
則線段MN即為所求。

以下將用" d(E,AB)表示點E到直線AB的距離" 說明:

題目欲找到P,使得 d(P,AB):d(P,CD)=CD:AB
由於AC垂直BD,故有d(E,AB):d(E,CD)=AB:CD    (ABE與DCE相似)
藉由鏡射,就有d(E',AB):d(E',CD)=CD:AB
再用相似形的想法,就知道直線FE'上的每一點Q  (F除外),皆有d(Q,AB):d(Q,CD)=CD:AB
故線段MN即為所求。
(更完整的,用相似形說明所有解皆落在線段MN上)

另外,解答中複選第8題答案有誤,應將A,D更正為 A
作者: 老王    時間: 2010-5-26 21:28

引用:
原帖由 Joy091 於 2010-5-26 05:37 PM 發表
(非選六):
設 ABCD四點共圓,其中AC與BD互相垂直於點E,圓心O在三角形CDE內部,如圖所示。試找出圓內所有的點P使得三角形PAB與三角形PCD的面積相等;並請從教學觀點說明你(妳)的解題思路。

若AB與CD平行,作一線同時垂直AB與C ...
圓心O是顯然解,所以若AB//CD,過O做AB的平行線即可
若直線AB和CD交於F,連接FO即可,當然,文中所說的E'也是正確的
作者: Joy091    時間: 2010-5-26 23:45     標題: 回復 10# 老王 的帖子

平行的情形我寫錯了,應該如老王所說"過O作AB的平行線"  !
作者: wunwun    時間: 2010-5-30 12:01

請問一下第五題的第一題.二進位後要怎麼算出答案???不懂這之間的關係!!不好意思^^
作者: weiye    時間: 2010-5-30 19:49

\(\displaystyle a_{25}=1\times3^4+1\times3^3+0\times3^2+0\times3^1+1\times3^0=109\)

\(\displaystyle b_{25}=4^{1+1+0+0+1}\)
作者: jisam    時間: 2010-5-31 20:31

引用:
原帖由 bugmens 於 2010-5-16 02:32 PM 發表
[提示]
(1)
25的二進位為11001

a25=109
...
請問如何得知要使用2進位來觀察呢。
感覺是由觀察法得到
可是卻不是很直接
煩請各位老師解惑 謝謝
作者: weiye    時間: 2010-5-31 22:42

引用:
原帖由 jisam 於 2010-5-31 08:31 PM 發表
請問如何得知要使用2進位來觀察呢。
感覺是由觀察法得到
可是卻不是很直接
煩請各位老師解惑 謝謝
如果對組合數學的生成函數有感覺的話,

應該可以看出 \(x\) 的次方數就是〝由 \(1,3,3^2,3^3\cdots\) 每個數字至多只取一次之和〞的所有可能性,

所以各種取法可以對應到所有自然數的 \(2\) 進位的表示法.

而每取用一個 \(3^n\,(n\in N\cup\{0\})\),\(x\) 的係數就會多乘一個 \(4.\)
作者: jisam    時間: 2010-6-1 09:13     標題: 回復 15# weiye 的帖子

謝謝weiye老師 待我細細品味 感謝
作者: 八神庵    時間: 2010-6-19 16:37

這一題的多選第10題,請問答案A符合所求嗎?
不然公佈的答案怎麼沒有A?
作者: weiye    時間: 2010-6-19 20:18

引用:
原帖由 八神庵 於 2010-6-19 04:37 PM 發表
這一題的多選第10題,請問答案A符合所求嗎?
不然公佈的答案怎麼沒有A?
多選第 10 題

在坐標平面上,點 \(A\) 的坐標是 \((2,0)\),\(B\)是圓C:\(x^2+y^2+4x+6y+4=0\)上的點,則下列那些值可以是 \(\overline{AB}\) 的長度?

解答:

圓C:\(\left(x+2\right)^2+\left(y+3\right)^2=3^2\) 得圓心 \(Q(-2,-3)\),半徑 \(r=3\)

\(\overline{AQ}-r\leq\overline{AB}\leq\overline{AQ}+r\,\Rightarrow\, 2\leq\overline{AB}\leq8.\)

答案似乎要有 A 選項才是。
作者: kittyyaya    時間: 2010-9-4 00:33

引用:
原帖由 老王 於 2010-5-26 09:28 PM 發表


圓心O是顯然解,所以若AB//CD,過O做AB的平行線即可
若直線AB和CD交於F,連接FO即可,當然,文中所說的E'也是正確的
先謝謝weiye和bugments兩位老師幫我解釋99桃園新進教師問題,這邊想請問各位老師,為何不論AB是否平行CD,連接圓心O都可呢? 謝謝
作者: weiye    時間: 2010-9-4 10:16     標題: 回復 19# kittyyaya 的帖子

(非選6)

1. ∠AEB=90° ⇒ AB弧 + CD弧 = 180° ⇒ ∠AOB 與 ∠COD 互補

 ⇒ ΔAOB 面積 = ΔCOD面積

2. 若 AB//CD,則過 O 作 AB 的平行線,其上任取一點 P,

 P到AB直線的距離=O到AB直線的距離,

 P到CD直線的距離=O到CD直線的距離。


3. 若 AB 不平行 CD,設 AB 直線與 CD 直線相交於 F,

 則取 OF 直線上任意點 P,

 因為 O到AB直線的距離:P到AB直線的距離到=OF線段長:PF線段長,

   且 O到CD直線的距離:P到CD直線的距離到=OF線段長:PF線段長。

 所以 P到AB直線的距離:P到CD直線的距離=O到AB直線的距離:O到CD直線的距離。

由上述 1,2,3,以及同底等高的三角形會等面積,

所以,上述所取之 P 會滿足 ΔPAB 面積 = ΔPCD面積
作者: mandy    時間: 2011-3-29 19:16

請問選擇第10題 答案為何沒有 (A)選項 ?  ==> 看到前面的解了

[ 本帖最後由 mandy 於 2011-3-29 07:19 PM 編輯 ]
作者: waitpub    時間: 2011-5-25 22:59

請問紅色部分跟下面這一段
\( b_1+b_2+b_3+...+b_{63}=(1+4)^6-1=12564 \)
引用:
原帖由 weiye 於 2010-5-19 08:16 PM 發表


為什麼你會覺得需要減 1 呢?


\(a_1+a_2+\cdot+a_{63}=\) 〝由 \(1,3,3^2,\cdots 3^5\) 任取 \(1,2,3,4,5,6\) 個數字之和〞的和

其中 \(1,3,3^2,\cdots, 3^5\) 各會被加 2^{6-1}=32 次,

所以,  ...

作者: weiye    時間: 2011-5-25 23:12     標題: 回復 22# waitpub 的帖子

紅色那段~你可以先想看看

由 {a,b,c,d,e,f } 的元素中任取 1,2,3,4,5, or 6 個元素所形成的子集合中,

有含 a 元素的子集合有幾個?(Ans: 2^5)(b作陪 or 不作陪~c作陪 or 不作陪~d作陪 or 不作陪~e作陪 or 不作陪~f作陪 or 不作陪~)

有含 b 元素的子集合有幾個?(Ans: 2^5)

有含 c 元素的子集合有幾個?(Ans: 2^5)

有含 d 元素的子集合有幾個?(Ans: 2^5)

有含 e 元素的子集合有幾個?(Ans: 2^5)

有含 f 元素的子集合有幾個?(Ans: 2^5)

然後,再想想紅色那段~看可不可以看得出關聯!^___^
作者: weiye    時間: 2011-5-25 23:14     標題: 回復 22# waitpub 的帖子

\( b_1+b_2+b_3+...+b_{63}\)

就是把 \(1+b_1 x^{a_1}+b_2 x^{a_2}+b_3 x^{a_3}+...+b_{63} x^{a_{63}} \) 以 \(x=1\) 帶入~再扣掉 \(1\) 之後的結果~

也就是把 \(\displaystyle (1+4x)(1+4x^3)(1+4x^{3^2})(1+4x^{3^3})(1+4x^{3^4})(1+4x^{3^5}) \) 以 \(x=1\) 帶入~再扣掉 \(1\) 之後的結果~
作者: dennisal2000    時間: 2011-6-28 13:46

b1+...+b63應該是 15624吧~ 應該是鍵盤誤~
作者: dennisal2000    時間: 2011-6-28 16:58

引用:
原帖由 老王 於 2010-5-26 09:28 PM 發表


圓心O是顯然解,所以若AB//CD,過O做AB的平行線即可
若直線AB和CD交於F,連接FO即可,當然,文中所說的E'也是正確的
可以有人說明一下嗎?
為何圓心是顯然解阿~~~
是因為何種性質嗎?
作者: 阿光    時間: 2011-12-15 20:21

想請教單選第4題其他選項錯在哪裡,謝謝
作者: tsusy    時間: 2011-12-16 15:42     標題: 回復 27# 阿光 的帖子

95 % 信賴區間 \( p \pm 2 \sqrt{\frac{p(1-p)}{n}} \) 或是用 1.96

所以 (B) 應是 \( p=0.75 \) 即 15 次所得的信賴區間

(D) 理由就如同是正面機率是 1/2 ,誰也不能保證丟了 20 次會大約出現 10 次正面一樣

可以說的是:丟 20 次出現正面的期望值是 10次,也就是 C 選項是對的。

(E) 同 (D) 信心水準是指,隨機選一個這樣造出的信賴區間,包含實際值的機率為 0.95

而非特定一個區間。

(A) 選項,小弟還看不出有什麼錯誤。
---------------------------------------------

感謝瑋岳和老王兩位老師的提醒,是小弟眼拙,

沒注意到 (A) 選項是「反面」,正確的敘述應該為 11 次「正面」。

[ 本帖最後由 tsusy 於 2011-12-19 04:46 PM 編輯 ]
作者: 阿光    時間: 2011-12-17 22:39

想請教非選擇第3題和第4題,謝謝
作者: weiye    時間: 2011-12-18 00:02     標題: 回復 29# 阿光 的帖子

非選擇第3題

  \(x=1\) 帶入,可得 \(f(1)\) 之值。將題目給的式子,左右同時對 \(x\) 微分,再將 \(x=1\) 帶入,可得 \(f\,'(1)\) 之值。


非選擇第4題

  \(\displaystyle w(f)\times(b-a)=\lim_{n\to\infty}\left(\sum_{i=1}^n f(c_i)\cdot \frac{b-a}{n}\right)=\int_a^b f(x) dx\)

  \(\displaystyle \Rightarrow w(f)=\frac{1}{b-a}\int_a^b f(x) dx\)

  若 \(f(x)=x^2, a=0, b=6\),則 \(\displaystyle w(f)=\frac{1}{6}\int_0^6 x^2 dx\)
作者: tsusy    時間: 2012-6-25 22:15     標題: 回復 20# weiye 的帖子

非選 6
「以及同底等高的三角形會等面積」,這句話是否只有在平行即情況 2 有用

若 \( \overline{AB} \) 和 \( \overline{CD} \) 不平行,同底等高的三角形在哪裡?

實際若不管那到圓,純用代數的角度來看就是 \( \overline{AB} d_{AB} = \overline{CD} d_{CD} \)

換成方程式,就像解角平分線距離一樣,有兩條,一條是 weiye 老師說的 \( \overleftrightarrow{OF} \)

另一條,有時候在圓外,有時和圓相交。如下圖是相交之情形



圖中 \( \overline{OO'} \) 與 \( \overline{AB} \) 平行,且 \( H  \) 為 \(  \overline{OO'} \) 中點

\( \overleftrightarrow{O'F} \) 就是另一條直線,為什麼呢?留著當習題好了

也就是說,其實 \( P \) 圖形可能是兩條弦

非選沒有公佈答案,另外一個情況,不知道是否是出題者預料中,還是遺漏?

圖片附件: pic.png (2012-6-25 22:15, 76.36 KB) / 該附件被下載次數 3983
https://math.pro/db/attachment.php?aid=1308&k=04596ee2eb96d9a2c17f54a483e093b6&t=1632026871


作者: meifang    時間: 2014-4-9 00:18

想問一下非選第二題,謝謝。
作者: weiye    時間: 2014-4-9 08:17     標題: 回復 32# meifang 的帖子

非選第 2 題:

因為 \(P(0\leq Z\leq 0.675)=0.25\),所以 \(\displaystyle P(Z\leq -0.675)=\frac{1-2\times P\left(0\leq Z\leq 0.675\right)}{2}=0.25\)



且因為第一四分位數為 40,標準差為 4,若令平均數為 \(\overline{X}\),則

\(\displaystyle \Rightarrow \frac{\overline{X}-40}{4}=0.675\)

\(\Rightarrow \overline{X}=42.7\)

圖片附件: 未命名.png (2014-4-9 17:50, 9.15 KB) / 該附件被下載次數 3585
https://math.pro/db/attachment.php?aid=2084&k=ec872db750ec4641c80508ba7ee64309&t=1632026871


作者: mathca    時間: 2015-12-13 08:32     標題: 回復 1# bugmens 的帖子

請教填充第1題,
北一女的聯結看不太懂(題目:6a+9b+20c=k,a,b,c都是非負整數)
,為何要做以下列式:
6(a+2)+9(b+1)+20(c−1)=k+1
6a+9(b−2)+20(c+1)=k+2
6(a−1)+9(b+1)+20c=k+3
6(a+1)+9(b+2)+20(c−1)=k+4
6(a−1)+9(b−1)+20(c+1)=k+5
6(a+1)+9b+20c=k+6

感謝。
作者: tsusy    時間: 2015-12-13 08:44     標題: 回復 34# mathca 的帖子

就是把 \( n \geq k \) 的所有情況,湊出來。

其中有 \( a-1,b-2,c-1 \),所以在 \( k = 6\times 1+9\times2+20\times1 = 44 \)

在 \( n\geq 44 \) 的情況,都可以由這些式子,去找出 \( a,b,c \)

而論證 \( n \geq 44 \) 時,皆可被表示成 \( 6a+9b+20c \) 之形式( \( a,b,c \) 非負整數)

所以 44 是合的,但題目中要找的符合這樣性質的最小 \( n \)

故要確定 43 是不能被湊出
作者: mathca    時間: 2015-12-13 09:21     標題: 回復 35# tsusy 的帖子

經由寸絲老師解釋後,以下自己理解部分,
case1:6a+9b+20c=k..........................  a、b、c必須大於等於0
case2:6(a+2)+9(b+1)+20(c−1)=k+1 ....... a+2、b+1、c-1必須大於等於0
case3:6a+9(b−2)+20(c+1)=k+2 ............ a、b-2、c+1必須大於等於0
case4:6(a−1)+9(b+1)+20c=k+3 ........... a-1、b+1、c必須大於等於0
case5:6(a+1)+9(b+2)+20(c−1)=k+4 ..... a+1、b+2、c-1必須大於等於0
case6:6(a−1)+9(b−1)+20(c+1)=k+5 ..... a-1、b-1、c+1必須大於等於0
case7:6(a+1)+9b+20c=k+6................ a+1、b、c必須大於等於0
結論:a-1、b-2、c-1必須大於等於零,所以a至少取1、b至少取2、c至少取1,
不知是否正確。
作者: tsusy    時間: 2015-12-13 09:34     標題: 回復 36# mathca 的帖子

其實只有 6 種情況,或說是 6 種預備式。

再從 44 出發,使用 6 個式子可以造出 45~ 50
從 50 出發,使用 6 個式子可以造出 50~ 56
... 就可以造成所有 \( n\geq 44 \)

另外 43 是必須好好確認的
作者: mathca    時間: 2016-1-8 09:46     標題: 回復 30# weiye 的帖子

非選擇第3題
- (f(1))^3 = 10-75+125-1+5=64  => f(1)=-4
微分後,
4x^3 *f(x) + (x^4-1) * f ' (x) -  3*(f(x))^2 * f ' (x) = 50x^4 -300x^3 +375x^2 -2x +5
4f(1) + 0 -  48* f ' (1) =50-300+375-2+5=128
48* f ' (1) = -144
f ' (1) = - 3 請問答案正確?

[ 本帖最後由 mathca 於 2016-1-8 09:47 AM 編輯 ]
作者: thepiano    時間: 2016-1-8 10:57     標題: 回復 38# mathca 的帖子

\(f'\left( 1 \right)=-3\)沒錯,寸絲兄的筆記中給的答案是\(\frac{5}{6}\),應是誤植

[ 本帖最後由 thepiano 於 2016-1-8 10:59 AM 編輯 ]
作者: mathca    時間: 2016-1-8 11:04     標題: 回復 39# thepiano 的帖子

感謝。




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