標題: 台大資工甄選入學指定項目考試 [打印本頁]

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作者: bugmens    時間: 2010-3-31 00:37     標題: 台大資工甄選入學指定項目考試

這份考古題大概在2,3月的時候在PTT數學版和高中版就會開始討論
但有些題目實在是太古怪了,每年都拿出來討論卻總是得不到個答案
我將手邊的資料放出來提供考生參考

\( \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{4^{2^{n-1}}}{4^{2^{n}}-1} \)=？

\( (\sqrt{23}+\sqrt{27})^{100} \)除以100的餘數為？

求\( e^\pi \)與\( \pi^e \)的大小關係？
利用\( \displaystyle f(x)=\frac{ln(x)}{x} \)當x>e時單調遞減

T={(x,y)|\(x,y \in N,x<1000, x^2-2y^2=1 \)}，求T之元素個數
可以用Google搜尋"pell方程式",可以找到公式
前幾組解(3,2)，(17,12)，(99,70)，(577,408)，(3363,2378)，(19601,13860)...
答案4個

\( \displaystyle \lim_{n \to \infty}(cos \frac{x}{2}cos \frac{x}{4}...cos \frac{x}{2^n}) \)=？
http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?p=2935


求\( \displaystyle \frac{10^{10000}}{10^{100}+7} \)被100除的餘數？([]為高斯符號)
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=708


已知\( x,y,z \ge 0 \)，\( x^2+y^2+z^2=1 \)，求\( \displaystyle \frac{x}{1+yz}+\frac{y}{1+zx}+\frac{z}{1+xy} \)的最大值？
http://tw.knowledge.yahoo.com/question/question?qid=1008042902094
連老王都發問了!

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作者: bugmens    時間: 2014-4-6 05:59

103臺大資工申請入學第二階段筆試試題
http://www.ptt.cc/bbs/SENIORHIGH/M.1396156101.A.6E9.html



更早的試題解答可以來這裡找－老王的夢田
http://lyingheart6174.pixnet.net/blog/category/217243

附件: 103臺大資工申請入學第二階段筆試試題.pdf (2014-4-6 05:59, 260.43 KB) / 該附件被下載次數 12539
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作者: cplee8tcfsh    時間: 2014-4-6 22:08

前陣子 學生在問
所以也解了一下
已知\( x,y,z \ge 0 \)，\( x^2+y^2+z^2=1 \)，求\( \displaystyle \frac{x}{1+yz}+\frac{y}{1+zx}+\frac{z}{1+xy} \)的最大值？

請參考附件

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作者: tsusy    時間: 2014-4-13 22:21     標題: 回復 1# bugmens 的帖子

題目 \( \displaystyle \sum\limits _{n=1}^{\infty}\frac{4^{2^{n-1}}}{4^{2^{n}}-1} \)
解 令 \( x_{n}=4^{2^{n}} \)，利用 \( \displaystyle \frac{x_{n}}{x_{n+1}-1}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{x_{n}+1}+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{x_{n}-1} \),  \( \frac{1}{x_{n}-1}=\frac{1}{x_{n-1}^{2}-1}=-\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{x_{n-1}+1}+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{x_{n-1}-1} \)，可得以下：

\(\displaystyle \frac{4^{1}}{4^{2}-1}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{4^{1}+1}+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{4-1} \)
\(\displaystyle \frac{4^{2}}{4^{4}-1}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{4^{2}+1}-\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{4+1}+\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{4-1} \)
\(\displaystyle \frac{4^{4}}{4^{8}-1}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{4^{4}+1}-\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{4^{2}+1}-\frac{1}{8}\cdot\frac{1}{4+1}+\frac{1}{8}\cdot\frac{1}{4-1} \)
\(\displaystyle \frac{4^{3}}{4^{16}-1}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{4^{8}+1}-\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{4^{4}+1}-\frac{1}{8}\cdot\frac{1}{4^{2}+1}-\frac{1}{16}\cdot\frac{1}{4+1}+\frac{1}{16}\cdot\frac{1}{4-1} \)
...
斜的加，從左上往右下加，把每一條斜線加總可得

\( \displaystyle \sum\limits _{n=1}^{m}\frac{4^{2^{n-1}}}{4^{2^{n}}-1}=\frac{1}{2^{m+1}}\sum\limits _{n=1}^{m}\left(\frac{2^{n}}{4^{2^{n-1}}+1}\right)+\frac{2^{m}-1}{2^{m}}\cdot\frac{1}{3}\to\frac{1}{3} \)

題目：\( (\sqrt{23}+\sqrt{27})^{100} \) 除以 100 的餘數，這題應該加上高斯符號
解 \( (\sqrt{23}+\sqrt{27})^{100}=\left(50+6\sqrt{69}\right)^{50} \)。
令 \( x_{n}=\left(50+6\sqrt{69}\right)^{50}+(50-6\sqrt{69})^{50} \)，則 \( x_{n+2}=100x_{n+1}-16x_{n}
\Rightarrow x_{50}\equiv x_{0}\cdot(-16)^{25}\equiv-2^{101}  (Mod  100) \)。
\( \phi(25)=20 \Rightarrow x_{50}\equiv-2  (Mod  25), x_{50}\equiv0  (Mod  4) \)，故 \( x_{50}\equiv48  (Mod  100) \)。
注意 \( 0<(50-6\sqrt{69})^{50}<1 \)，故 \( x_{50}=\left(50+6\sqrt{69}\right)^{50}+(50-6\sqrt{69})^{50}=\left[\left(50+6\sqrt{69}\right)^{50}\right]+1 \)。
因此 \( \left[(\sqrt{23}+\sqrt{27})^{100}\right]\equiv47 (Mod  100) \)。

[ 本帖最後由 tsusy 於 2014-4-13 11:14 PM 編輯 ]

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作者: 李昶毅    時間: 2017-3-12 20:06     標題: 台大資工105二階筆試B部分

可以請問大家第4~6還有第8題的解法嗎
說實在都是一些沒看過的@@
謝謝大家~~

附件: 105台大資工二階.pdf (2017-3-12 20:06, 433.81 KB) / 該附件被下載次數 10439
https://math.pro/db/attachment.php?aid=3816&k=15b49ac4646cc258f75bead6b3a1e75f&t=1714636432

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作者: tsusy    時間: 2017-3-12 20:46     標題: 回復 1# 李昶毅 的帖子

B4. 先把奇數項的負號改成正，再減去兩個奇數項
改正的部分和原偶數項裂項相消，
減去兩個奇數項的部分，也是裂項，但不相消變成 \( \frac{1}{1}-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}+\ldots \) 會變成 \( \arctan x \) 的Maclaurin series 代入 \( x=1 \)

\( \begin{aligned}\sum\frac{(-1)^{k}}{4k^{2}-1} & =\sum\frac{1}{4k^{2}-1}-2\sum\limits _{k\mbox{ odd}}\frac{1}{4k^{2}-1}\\
& =\frac{1}{2}\sum\left(\frac{1}{2k-1}-\frac{1}{2k+1}\right)-\sum\limits _{k\mbox{ odd}}\left(\frac{1}{2k-1}-\frac{1}{2k+1}\right)\\
& =\frac{1}{2}-\sum\limits _{k\mbox{ odd}}\frac{(-1)^{k+1}}{2k-1}=\frac{1}{2}-\tan^{-1}1=\frac{1}{2}-\frac{\pi}{4}
\end{aligned} \)

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作者: 李昶毅    時間: 2017-3-12 20:48

後面那一項是不是大學才會學到阿@@
好像不是我目前能力所及QQ

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作者: tsusy    時間: 2017-3-12 20:49     標題: 回復 1# 李昶毅 的帖子

B6. 感覺抄錯題目了

按上面的題目，移項提出 a-c，再用正弦定理、三角不等式可得 a-c=0

變成等腰三角形 a=c，無法求得角 C

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作者: tsusy    時間: 2017-3-12 20:58     標題: 回復 1# 李昶毅 的帖子

B5. 有類似題...

分解，配對，算幾

注意 \( a^2+ab+ac+bc = (a+b)(a+c) \)

及 \( 3a+b+2c = (a+b) + 2(a+c)\)

由算幾不等式有 \( \frac{3a+b+2c}{2}=\frac{(a+b)+(2a+2c)}{2}\geq\sqrt{2(a+b)(a+c)}=\sqrt{12+2\sqrt{20}}=\sqrt{10}+\sqrt{2} \)

故 \( 3a+b+2c \geq 2\sqrt{10} + 2\sqrt{2} \) (等號我懶得驗了...)

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作者: thepiano    時間: 2017-3-12 21:07     標題: 回復 4# tsusy 的帖子

B6
應是\((a-c)\left( \sin A+\sin C \right)=\left( a-b \right)\sin B\)

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作者: tsusy    時間: 2017-3-12 21:30     標題: 回復 6# thepiano 的帖子

B6. 那就正弦定理，把三個正弦換成邊長，移項再同除以 ab 得

\( \cos C=\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}=\frac{1}{2}\Rightarrow\angle C=60^{\circ} \)

*************眼殘，下面兩行可以當作沒看到*************
\( \sin A+\sin B=2\sin\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}=\sqrt{3}\cos\frac{A-B}{2} \)

當 \( \angle A=\angle B=60^{\circ} \) 時 \( \sin A + \sin B \) 達最大值 \( \sqrt{3} \)
*************眼殘，上面兩行可以當作沒看到*************

[ 本帖最後由 tsusy 於 2017-3-12 22:33 編輯 ]

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作者: thepiano    時間: 2017-3-12 21:45     標題: 回復 1# 李昶毅 的帖子

B8
題目要寫清楚
過\(P\left( 1,3 \right)\)的直線與圓\({{x}^{2}}+{{y}^{2}}=4\)交於\(A\left( {{x}_{1}},{{y}_{1}} \right)\)、\(B\left( {{x}_{2}},{{y}_{2}} \right)\)兩點

過\(A\left( {{x}_{1}},{{y}_{1}} \right)\)和\(B\left( {{x}_{2}},{{y}_{2}} \right)\)分別作圓的切線，兩切線交於\(Q\left( a,b \right)\)

直線\(AQ\)的方程式為\({{x}_{1}}x+{{y}_{1}}y=4\)
直線\(BQ\)的方程式為\({{x}_{2}}x+{{y}_{2}}y=4\)

\(\left\{ \begin{align}
  & a{{x}_{1}}+b{{y}_{1}}=4 \\
& a{{x}_{2}}+b{{y}_{2}}=4 \\
\end{align} \right.\)

直線\(AB\)的方程式為\(ax+by=4\)
又\(P\left( 1,3 \right)\)在\(ax+by=4\)上，\(a+3b=4\)

故\(Q\left( a,b \right)\)的軌跡方程式為\(x+3y=4\)

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作者: thepiano    時間: 2017-3-12 22:00     標題: 回復 7# tsusy 的帖子

寸絲兄，您看錯題目，是要求\(\sin A\sin B\)的最大值

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作者: tsusy    時間: 2017-3-12 22:32     標題: 回復 9# thepiano 的帖子

眼殘了，不過做法沒差多少

\( \sin A \sin B = - \frac12 \left( \cos (A+B) - \cos (A-B) \right) \)
\( = \frac12 \cos (A-B) + \frac14 \leq \frac 34 \)

當 \( \angle A = \angle B = 60^\circ \) 達最大值 \( \frac 34 \)

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作者: laylay    時間: 2017-3-14 09:09

A.5     [0,0,0,1,0]
          [0,1,0,0,0]
          [0,0,0,0,1]
          [0,0,1,0,0]
          [1,0,0,0,0]

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作者: 李昶毅    時間: 2017-3-14 09:41

可以再請教一下各位先進A部分第4、6、8、10題的作法嗎？謝謝大家!!!

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作者: laylay    時間: 2017-3-14 11:25

A10.   x>=1時 f2(x)=0 , x<1 時 f2(x)=(x-1)^2 , 畫出兩函數圖,易知 0<=x<=1 即為所求

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作者: laylay    時間: 2017-3-14 11:41

A8.   M1^(-1)=[1,0,0,0]           ANS=   [1,0,0,0]   
                       [2,1,0,0]                       [2,1,0,0]
                       [3,0,1,0]    =>               [3,2,1,0]
                       [4,0,0,1]                       [4,3,2,1]

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作者: laylay    時間: 2017-3-14 13:04     標題: 回復 14# laylay 的帖子

M1[V1] = [          V1]
     [V2]    [-2V1+V2]
     [V3]    [-3V1+V3]
     [V4]    [-4V1+V4] , 可知 M1 就是矩陣列運算,因此本題先做三個逆列運算,再做兩個列運算便可

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作者: thepiano    時間: 2017-3-14 15:01     標題: 回復 12# 李昶毅 的帖子

A6
\(\begin{align}
  & n{{a}_{n}}={{n}^{3}}+3n+1-\left[ {{\left( n-1 \right)}^{3}}+3\left( n-1 \right)+1 \right] \\
& {{a}_{n}}=3n-3+\frac{4}{n}\quad \left( n\ge 2 \right) \\
\end{align}\)

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作者: laylay    時間: 2017-3-14 21:27

A4.  顯然是連續函數  而且中間是凹口向上的拋物曲線(有包含了頂點),
       再由斜率知兩旁皆為較為高聳的射線
       故頂點y座標=-b/4a 即為所求.

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作者: laylay    時間: 2017-3-14 21:30     標題: 回復 17# laylay 的帖子

b改為D

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作者: larson    時間: 2019-4-3 09:32     標題: 台大二階考古題

設N表所有正整數所成的集合，S={17u+22v|u,v屬於N}，則N - S的元素個數為何？
(用很爆力的方式可算出206組，請問有什麼比較快的解法嗎？)

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作者: cefepime    時間: 2019-4-4 11:56

題意即: 有多少個正整數 k，使不定方程  17u + 22v = k 不存在正整數解 (u, v) ?

解: 對於不定方程 17u + 22v = k 的所有整數解 (u, v)，取其中最小的正整數 u (則 1 ≤ u ≤ 22)，再考慮有幾個 v 取值，可以得到符合題意的 k。

當 u =22，v =0, -1, -2, ..., -16，共 [17*22 /22] = 17 個 ( [...] 為高斯符號)

而對每個 1 ≤ u ≤ 21，v 皆有 [17u /22] +1 個取值

故所求

= [17*22 /22] + [17*21 /22] + [17*20 /22]  +...+ [17*1 /22] +21

= [17*22 /22] + [17*11 /22] + 16*10 +21 (註)

= 206

註: 注意到 u =11 時，[...] 內為 8.5。利用對稱性，與 11 "等距" 的兩個 u 值，其 [...] 之和 = 16。

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作者: larson    時間: 2019-4-11 08:07     標題: 2012台大資工二階

請問這題機率的問題要如何解？

大雄用小叮噹的百寶袋作實驗，在下課前1分鐘時，將10顆球放入袋中，並隨即取出1球，在下課前\(\displaystyle \frac{1}{2}\)分鐘時，將10顆球放入袋中，並隨即取出1球，一直下去，在下課前\(\displaystyle \frac{1}{4},\frac{1}{8},\frac{1}{16},\ldots\)分鐘時，重複同樣的動作。試問：
(1)若每次取球時，都取待在袋中時間最久的球，則下課時袋中有球的機率為？
(2)若每次取球時，都取待在袋中時間最短的球，則下課時袋中有球的機率為？

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作者: cefepime    時間: 2019-4-12 21:37

以下純屬個人直觀想法。

(1) 0  (因為每個置入袋中的球，都會在下課前被取出)

(2) 1  (因為第一次置入袋中的 10 顆球，有 9 顆會留在袋中直至下課)

請問有答案嗎?

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作者: larson    時間: 2019-4-12 22:53

沒有，題目猜測應該也是學生試後的記憶版。想了解有沒有數學的式子可表達。

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