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標題: 證\(<\sqrt[n]{n}>_{n=3}^\infty\) 是遞減的數列 [打印本頁]
作者: weiye    時間: 2010-3-27 19:33     標題: 證\(<\sqrt[n]{n}>_{n=3}^\infty\) 是遞減的數列

求證數列 \(<\sqrt[n]{n}>_{n=3}^\infty\) 是遞減的數列。




先分析一下

題目要求證，對任意正整數 \(n\geq 3\)，恆有

\(\displaystyle n^{\frac{1}{n}}>(n+1)^{\frac{1}{n+1}} \Leftrightarrow  \ln\left( n^{\frac{1}{n}}\right)>\ln\left((n+1)^{\frac{1}{n+1}}\right) \Leftrightarrow \frac{1}{n}\cdot \ln\left(n\right) > \frac{1}{n+1} \ln\left(n+1\right)\)





證明：

令 \(\displaystyle f(x)=\frac{\ln\left(x\right)}{x}\)，則

\(\displaystyle f'(x)=\frac{\frac{1}{x}\cdot x - \ln\left(x\right)\cdot 1}{x^2} = \frac{1-\ln\left(x\right)}{x^2}\)

因此對任意 \(x>e\)，恆有 \(f'(x)<0\)，

所以 \(f(x)\) 在 \(x>e\) 時為遞減函數，

故　\(f(3)>f(4)>f(5)>\cdots\)，

亦即數列 \(<\sqrt[n]{n}>_{n=3}^\infty\) 是遞減的數列。











相似的練習題：（來源出處：林信安老師 → 一般課程 → 微積分講義 → 指對數函數的微分積分）
例題 5.
　　(1) 若 \(x>0\)，試証 \(\displaystyle \ln\left(1+x\right)>\frac{x}{1+x}\) 。

　　(2) 當 \(x>0\) 時，試討論 \(\displaystyle f(x)=\frac{\ln\left(1+x\right)}{x}\) 的增減情形。

　　(3) 若 \(0<a<b\)，試比較 \(\displaystyle \left(1+a\right)^b\) 與 \(\displaystyle \left(1+b\right)^a\) 之大小。

另外，其綜合練習部分也有類題。
作者: best2218    時間: 2012-10-25 07:15

不好意思，想請教一下第三小題， 0<a<b，試比較 (1+a)^b  與 (1+b)^a  之大小。
要怎麼說明?想仿照前兩題的寫法，但是寫不太出來。
謝謝
作者: weiye    時間: 2012-10-25 11:16     標題: 回復 2# best2218 的帖子

第三小題要 "利用" 第二小題的結果，

不是 "仿照" 前兩小題的方法。



由第二小題「結果」，可知當 \(x>0\) 時，\(\displaystyle f(x)=\frac{\ln\left(1+x\right)}{x}\) 為嚴格遞減函數。

即當 \(0<a<b\) 時，恆有 \(\displaystyle \frac{\ln\left(1+a\right)}{a}>\frac{\ln\left(1+b\right)}{b}\)

　　　　　　　　　　　\(\displaystyle \Leftrightarrow b\ln\left(1+a\right)>a\ln\left(1+b\right)\)

　　　　　　　　　　　\(\displaystyle \Leftrightarrow \ln\left(1+a\right)^b>\ln\left(1+b\right)^a\)

　　　　　　　　　　　\(\displaystyle \Leftrightarrow \left(1+a\right)^b>\left(1+b\right)^a\)
作者: best2218    時間: 2012-10-25 14:58

我知道了，謝謝!
自己的腦筋太死了
作者: CyberCat    時間: 2016-5-9 11:59     標題: 回復 1# weiye 的帖子

請問老師
關於類似的練習題(1)
目前只想到利用x>0時，\( \frac{1}{1+x} > \frac{1}{(1+x)^{2}}  \)  
故\( \int_  \frac{1}{1+x}  dx > \int_  \frac{1}{(1+x)^2}   dx  \)  
得\( ln(1+x)> \frac{x}{(1+x)}  \)  

這樣的作法對嗎?有沒有更直觀的方法?

[ 本帖最後由 CyberCat 於 2016-5-9 12:01 PM 編輯 ]
作者: weiye    時間: 2016-5-9 12:36     標題: 回復 5# CyberCat 的帖子

左邊大於右邊，不表示積分後左邊也會大於右邊。

-------------------------------------------------------------

令 \(\displaystyle g(x)=\ln\left(1+x\right)-\frac{x}{1+x}\)，則 \(\displaystyle g '(x) = \frac{x}{\left(1+x\right)^2}\)

\(\Rightarrow g '(x)>0, \forall x>0\)， 且 \(g(x)\) 在 \(x=0\) 處連續，

\(\Rightarrow g(x)\) 在 \(x\geq0\) 時為嚴格遞增函數，

\(\Rightarrow g(x)>g(0), \forall x>0\)

且因為 \(g(0)=0\)，所以 \(g(x)>0, \forall x>0\)

\(\displaystyle \Rightarrow \ln\left(1+x\right)-\frac{x}{1+x}>0, \forall x>0\)

\(\displaystyle \Rightarrow \ln\left(1+x\right)>\frac{x}{1+x}, \forall x>0\)
作者: cefepime    時間: 2016-5-9 15:38

以前有看過用算幾不等式證明: n ∈ N，數列  [1 + (1/n) ] ⁿ  遞增。現在看到這題，也來嘗試用算幾不等式。

原題欲證: n^(1/n) > (n+1)^[1/(n+1)]    (n ≥ 3，n ∈ N)

等同於 n > [ (n+1)ⁿ ] ^ [1/(n+1)]   (兩側同予 n 次方)

把右式作為 (n+1) 個正數的幾何平均，容易想到取 n 個 (n+1) 與 1 個 1，但這樣設計的算數平均太大了。為了"放縮"得小些，嘗試"平均一點"，把右式取幾何平均的 (n+1) 個正數設為:  (n-1) 個 (n+1) 與 2 個 √(n+1)。則根據算幾不等式:

n - 1 + 2/√(n+1) > [ (n+1)ⁿ ] ^ [1/(n+1)]  (等號不會成立)

又當 n ≥ 3 時，2 /√(n+1) ≤ 1，故 n > [ (n+1)ⁿ ] ^ [1/(n+1)]，原題亦得證。

作者: CyberCat    時間: 2016-5-12 09:55     標題: 回復 6# weiye 的帖子

感謝weiye老師解惑並點出我的錯誤
想確認知道自己的錯誤，是不是錯在不定積分的部份?
如果是相同的上下限作定積分(a<b)從a積到b，這樣不等式成立嗎?
可以改成做定積分0至v，其中v>0，使的不等式成立，這樣寫適合嗎?

也謝謝7樓的C大提供一樓題目的另一個解法
巧妙的使用 當 \(n\geq3 \)時 n > \( \ (n-1)+\frac{2}{\sqrt{n+1}}  \)  作為不等式中間的媒介
將 \( (n+1)^{\frac{n+1}{n}} \) 拆成n-1個n+1跟2個\( \sqrt{n+1} \) 的想法，真的很有趣

[ 本帖最後由 CyberCat 於 2016-5-14 01:48 AM 編輯 ]



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