標題: 特徵值的問題 [打印本頁]

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作者: marigeq    時間: 2009-10-13 12:37     標題: 特徵值的問題

find the eigenvalues and their corresponding eigenvectors of the matrix

[  1     1   ]
[-2    -1   ]

我在算 λ 時
算到後來  λ平方=-1
怎麼會這樣呢
是我算錯了嗎
謝謝幫忙

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作者: weiye    時間: 2009-10-13 13:14

沒錯呀，所以 eigen-values 是 \(i,-i\)，

還是可以繼續算下去呀。

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作者: marigeq    時間: 2009-10-13 21:45

看不太懂

可不可以寫詳細一點
可以寫出整個算式嗎
謝謝你的幫門

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作者: weiye    時間: 2009-10-13 22:21

令 \(\displaystyle A = \left[ \begin{array}{*{20}{c}}
   1 & 1  \\
   - 2 & - 1  \\
\end{array} \right]\)，

由 \(det(A-\lambda I)=0\)，可解得 eigen-values: \(\lambda=i, -i.\)

當 \(\lambda=i\) 時，令其對應 eigen-vector 為  \(\displaystyle v = \left[ \begin{array}{*{20}{c}}
   x  \\
   y  \\
\end{array} \right]\)，

由 \(Av=\lambda v\Rightarrow  \left[ \begin{array}{*{20}{c}}
   1 & 1  \\
   - 2 & - 1  \\
\end{array} \right]\left[ \begin{array}{*{20}{c}}
   x  \\
   y  \\
\end{array}\right]=i\left[ \begin{array}{*{20}{c}}
   x  \\
   y  \\
\end{array}\right]\)

\(\displaystyle \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
   (1-i)x+y=0  \\
   2x+(1+i)y=0  \\
\end{array}} \right.\)，這兩式是相同的（將第一式乘以\(1+i\) 可得第二式），

所以令 \(y=1\)，可得 \(\displaystyle x=-\frac{1}{2}-\frac{i}{2}\)，

亦即對應的 eigen-vector 為  \(\displaystyle \left[ \begin{array}{*{20}{c}}
   -\frac{1}{2}-\frac{i}{2}  \\
   1  \\
\end{array} \right].\)

另外，當 \(\lambda=-i\) 時，方法同上。

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