標題: 請教一題極限問題 [打印本頁]

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作者: Isaac    時間: 2009-10-2 09:58     標題: 請教一題極限問題

\(n=\frac{1}{t}\)

若n→0  ，則t→∞

這樣一定成立嗎 ？

請教下題極限值
\( \lim_{n\rightarrow0 }   { \left (   { 2}^{ n}+ { 3}^{ n}   \right ) }^{ \frac{1 }{ n}  } \)

[ 本帖最後由 Isaac 於 2009-10-2 10:13 AM 編輯 ]

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作者: weiye    時間: 2010-1-15 00:06

1. 若 \(n\to0\)，則 \(\displaystyle t=\frac{1}{n}\to\pm\infty\)


2.

\(\displaystyle \lim_{n\to 0}\left(2^n+3^n\right)^{\frac{1}{n}}
=\lim_{n\to 0} e^{\ln \left( 2^n+3^n \right)^{\frac{1}{n}}}
=\lim_{n\to 0} e^{\frac{1}{n}\ln \left( 2^n+3^n \right)}
=e^{\lim_{n\to 0}\frac{\ln \left( 2^n+3^n \right)}{n} }\)（因為 \(e^x\) 為連續函數）


其中指數的地方，因為 \(\ln x\) 為連續函數，所以 \(\displaystyle\lim_{n\to 0}\ln \left( 2^n+3^n  \right)=\ln \left( \lim_{n\to 0}\left( 2^n+3^n  \right) \right)=\ln 2\)，

因此 \(\displaystyle \lim_{n\to 0^+}\frac{\ln \left( 2^n+3^n  \right)}{n}=\infty \)  且  \(\displaystyle \lim_{n\to 0^-}\frac{\ln \left( 2^n+3^n  \right)}{n}=-\infty \)

故，\(\displaystyle \lim_{n\to 0^+}{{\left( 2^n+3^n  \right)}^{\frac{1}{n}}}={{e}^{\lim_{n\to 0^+}\frac{\ln \left( 2^n+3^n  \right)}{n}}}={{e}^{\infty }}=\infty \)  且  \(\displaystyle \lim_{n\to 0^-}{{\left( 2^n+3^n  \right)}^{\frac{1}{n}}}={{e}^{\lim_{n\to 0^-}\frac{\ln \left( 2^n+3^n  \right)}{n}}}={{e}^{-\infty }}=0\)

因此，\(\displaystyle \lim_{n\to 0} \left( 2^n+3^n  \right)^{\frac{1}{n}}\)  不存在。



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不知如此想法是否有疏漏，歡迎一起討論。 :-)

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