標題: 請教一題函數方程 [打印本頁]

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作者: 老王    時間: 2009-10-1 22:07     標題: 請教一題函數方程

還沒有好的想法:

設\( f(x) \)滿足
\( f(0)=1,f(2)+f(3)=125 \)

而且對所有實數x都有\( f(x)f(2x^2)=f(2x^3+x) \)
求\( f(5)=? \)


(真是太久沒發文了!!)

另外，猜到可能的\( f(x)=(x^2+1)^2 \)，還是沒頭緒

[ 本帖最後由 老王 於 2009-10-3 10:27 PM 編輯 ]

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作者: bugmens    時間: 2009-10-3 23:26

其實我也不會解,我昨天到mathlinks問了這題再等看看有沒有人會
http://www.mathlinks.ro/Forum/viewtopic.php?t=303704
你能猜的到答案也很厲害了

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作者: 老王    時間: 2009-10-7 13:40     標題: 回復 2# bugmens 的帖子

感謝你!!
這題是同事問的，他說是學生問的，不知哪來的競賽題。

我是先猜是多項函數，然後看出是偶函數
再由f(2)+f(3)=125猜的
可是題目也沒說是多項函數

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作者: bugmens    時間: 2009-10-7 15:32

哈哈我找到出處了,原來是2007AIME的題目,點題號看網友的討論
http://www.mathlinks.ro/Forum/re ... id=45&year=2007
Let \( f(x) \) be a polynomial with real coefficients such that \( f(0)=1 \),\( f(2)+f(3)=125 \),and
for all x,\( f(x)f(2x^2)=f(2x^3+x) \).Find \( f(5) \).
考上之後越來越偷懶了,曾經準備過的題目居然認不出來

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作者: kkk    時間: 2009-10-7 15:44

這題如果限制f在多項式函數上，的確會有原PO所斷言之結論。

不妨令f(x)=akX^k+ak-1X^k-1+.....+1，ak不等於0

帶入 \( f(x)f(2x^2)=f(2x^3+x) \)，比較首項及次項係數會得到 ak=1，ak-1=0


由上可大概瞭解f似乎具有偶函數的雛形，


假設f(x)=(x-b1)(x-b2)...(x-bk)，{bi，1<=i<=k}允許有複數


絕對值b1*b2*...*bk=1


bi，1<=i<=k為f(x)=0之根 iff 2bi^3+bi亦為f(x)=0之根，


考慮絕對值2bi^3+bi=絕對值bi*絕對值2bi^2+1，


若某1<=i<=k使得絕對值bi>1，則易見 絕對值2bi^2+1>1


導致 絕對值2bi^3+bi>絕對值bi，那麼2bi^3+bi不等於bi


重複上面理論可以得知bi，2bi^3+bi，......為一無窮多由bi衍生出來的f(x)＝0之相異根 for some 1<=i<=k，矛盾。


故 對所有的1<=i<=k，皆有絕對值bi<=1，由上面一式絕對值b1*b2...*bk=1


得知 絕對值bi=1  for all i


考慮型如2bi^3+bi之根，吾人知絕對值2bi^2+1=1 ，根據高中數學的範疇告訴我們這樣的bi有跡可尋，


令 bi=cos@+isin＠，（1+2cos2@）^2+4sin2@^2=1，則4+4cos2@=0，cos2@=-1，＠＝（n+1/2）拍


故 bi= i or -i with i^1=-1，for all i


由虛根成對的結論告訴我們 f(x)=（x^2+1)^n   with deg(f)=2n，而f顯然為一偶函數


再由f(2)+f(3)=125  得知 n=2，


所求為（x^2+1）^2




PS：至於一般性的f ，由於小弟腦袋簡單無法提供原PO所要的資訊 ，但根據小弟一些淺見，要求出
        一般性的f 單單由題目所提供的條件恐怕不足以解出，個人認為條件過少，再者，光是要試探f 是否有
       1-1，onto 的一般函數性質已非易事。

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作者: eggsu1026    時間: 2012-6-12 03:56     標題: 回復 5# kkk 的帖子

能夠想到這種解法，佩服！

在此提出 2 個疑問：
(1) bi，1<=i<=k為f(x)=0之根 iff 2bi^3+bi亦為f(x)=0之根
我想這裡的 iff 有點問題，應該只有 「若 bi 為 f(x) =0 的根」 可推論 「則 2bi^3+bi 亦為 f(x)=0 之根」
(2) 易見 絕對值2bi^2+1>1
我不覺得這個易見，應該要怎麼看才會顯然呢？
我自己要說明這個做法需要用到複數的三角不等式 | a + b | ≧ |a| - |b|
| 2bi^2 + 1 | ≧ | 2bi^2 | - | 1 | = 2 | bi |^2  - 1 > 1

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