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標題: 請教一題扇形題目 [打印本頁]

作者: f19791130 時間: 2009-9-5 08:07 標題: 請教一題扇形題目

扇形AOB，圓心角角AOB=60度，半徑線段OA=1，若P為弧AB上異於A，B之動點，自P作PH線段垂直OA線段於H，PK線段垂直OB線段於K。試證：PH線段*PK線段的最大值是0.25。
請高手解答

作者: weiye 時間: 2009-9-5 13:06

引用:

原帖由 f19791130 於 2009-9-5 08:07 AM 發表
扇形AOB，圓心角角AOB=60度，半徑線段OA=1，若P為弧AB上異於A，B之動點，自P作PH線段垂直OA線段於H，PK線段垂直OB線段於K。試證：PH線段*PK線段的最大值是0.25。
請高手解答 ...

令 \(\displaystyle\angle AOP=\alpha, \angle BOP=\beta\)，

則 \(\displaystyle\alpha+\beta=60^\circ\) 且 \(\displaystyle PH=\sin\alpha\)、\(PK=\sin\beta\)，

題目所求 \(\displaystyle PH \cdot PK = \sin\alpha\cdot\sin\beta\)，由積化和差可得，

\(\displaystyle\sin\alpha\cdot\sin\beta= -\frac{1}{2}\left\{\cos\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right) - \cos\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)\right\}\)

\(\displaystyle \qquad\qquad\qquad=-\frac{1}{2}\left\{\cos 30^\circ -\cos\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)\right\}=\frac{1}{2}\cos\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)-\frac{1}{4}\)

當 \(\alpha=\beta\) 時，\(PH\cdot PK\) 有最大值 \(\displaystyle\frac{1}{2}\times1-\frac{1}{4}=\frac{1}{4}.\)

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