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標題: 請教一題矩陣問題 [打印本頁]

作者: f19791130 時間: 2009-8-17 17:09 標題: 請教一題矩陣問題

若方陣A、B、A+B皆可逆，試證A-1+ B-1可逆
且（A-1+ B-1）-1=A（A+B）-1B=B（A+B）-1A
請高手解答

作者: weiye 時間: 2009-8-17 18:35

引用:

原帖由 f19791130 於 2009-8-17 05:09 PM 發表
若方陣 \(A、B、A+B\) 皆可逆，試證 \(A^{-1}+ B^{-1}\) 可逆
且\(（A^{-1}+ B^{-1}）^{-1}=A（A+B）^{-1}B=B（A+B）^{-1}A\)
請高手解答

設 \(A、B、A+B\) 皆可逆的 \(n\) 階方陣，

則 \(A^{-1}、B^{-1}、（A+B）^{-1}\) 皆存在且為 \(n\) 階方陣，

\(\Rightarrow A^{-1}+B^{-1}\) 亦存在，且為 \(n\) 階方陣。

1. 　先證明 \(A（A+B）^{-1}B\) 是 \(A^{-1}+ B^{-1}\) 乘法反矩陣，

從右邊乘，

　　\(\left(A^{-1}+B^{-1}\right)\cdot A（A+B）^{-1}B=\left(A^{-1}A+B^{-1}A\right) （A+B）^{-1}B\)

　　\(=\left(I+B^{-1}A\right) （A+B）^{-1}B=\left(B^{-1}B+B^{-1}A\right) （A+B）^{-1}B\)

　　\(=B^{-1}（B+A）（A+B）^{-1}B=B^{-1}（A+B）（A+B）^{-1}B\)

　　\(=B^{-1}IB=B^{-1}B=I\)

從左邊乘，

　　\(A（A+B）^{-1}B\cdot\left(A^{-1}+B^{-1}\right) =A（A+B）^{-1}\left(BA^{-1}+BB^{-1}\right) \)

　　\(=A（A+B）^{-1}\left(BA^{-1}+I\right)=A（A+B）^{-1}\left(BA^{-1}+AA^{-1}\right)\)

　　\(=A（A+B）^{-1}\left(B+A\right)A^{-1}=A（A+B）^{-1}\left(A+B\right)A^{-1}\)

　　\(=AIA^{-1}=AA^{-1}=I\)

　　所以，\(A（A+B）^{-1}B\) 是 \(A^{-1}+ B^{-1}\) 乘法反矩陣。

2. 　因為 \(A+B=B+A\) 且 \(A^{-1}+B^{-1}=B^{-1}+A^{-1}\)，

　　利用剛剛證出來的結果，將 \(A,B\) 互換，

　　即可得 \(B（B+A）^{-1}A\) 為 \(B^{-1}+ A^{-1}\) 的乘法反矩陣，

　　再利用矩陣加法的可交換性，

　　得，\(B（A+B）^{-1}A\) 為 \(A^{-1}+B^{-1}\) 的乘法反矩陣。

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