標題: 請教一題馬可夫矩陣 [打印本頁]

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作者: arend    時間: 2009-8-11 17:39     標題: 請教一題馬可夫矩陣

有三水桶A,B,C,其含水量依序為a,b ,c
若一次倒一半給下一桶(A-B-C-A........)
求其轉移矩陣
平衡狀態時,a:b:c

做不出來,希望版上的高手不吝告知
謝謝

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作者: weiye    時間: 2009-8-11 19:54

先看完整的一輪之後，各水量的流動

亦即，依照 \(A\rightarrow B\rightarrow C\rightarrow A\) 每次都倒一半給下一桶，

水量流動如下：

\((a,b,c) \rightarrow (\frac{1}{2} a, \frac{1}{2}a+b, c) \rightarrow (\frac{1}{2} a, \frac

{1}{4} a+\frac{1}{2}b, \frac{1}{4} a+\frac{1}{2}b +c) \rightarrow (\frac{5}{8}a+\frac{1}{4}b+\frac{1}{2}c,\frac

{1}{4} a+\frac{1}{2}b , \frac{1}{8}a+ \frac{1}{4}b+\frac{1}{2}c)\)

所以，

轉移矩陣為

\(\displaystyle \left[ \begin{array}{*{20}{c}}
   \frac{5}{8} & \frac{1}{4} & \frac{1}{2}  \\
   \frac{1}{4} & \frac{1}{2} & 0  \\
   \frac{1}{8} & \frac{1}{4} & \frac{1}{2}  \\
\end{array}\right]\)

達穩定狀態時，

\(\displaystyle \left[\begin{array}{*{20}{c}}
   \frac{5}{8} & \frac{1}{4} & \frac{1}{2}  \\
   \frac{1}{4} & \frac{1}{2} & 0  \\
   \frac{1}{8} & \frac{1}{4} & \frac{1}{2}  \\
\end{array} \right]\left[ \begin{array}{*{20}{c}}
   a  \\
   b  \\
   c  \\
\end{array} \right] = \left[ \begin{array}{*{20}{c}}
   a  \\
   b  \\
   c  \\
\end{array} \right]\)

可以解得

\(a:b:c=2:1:1.\)








或是，另解

轉移矩陣為

\(\displaystyle \left[ \begin{array}{*{20}{c}}
   1 & 0 & \frac{1}{2}  \\
   0 & 1 & 0  \\
   0 & 0 & \frac{1}{2}  \\
\end{array} \right]\left[ \begin{array}{*{20}{c}}
   1 & 0 & 0  \\
   0 & \frac{1}{2} & 0  \\
   0 & \frac{1}{2} & 1  \\
\end{array} \right]\left[ \begin{array}{*{20}{c}}
   \frac{1}{2} & 0 & 0  \\
   \frac{1}{2} & 1 & 0  \\
   0 & 0 & 1  \\
\end{array} \right] = \left[ \begin{array}{*{20}{c}}
   \frac{5}{8} & \frac{1}{4} & \frac{1}{2}  \\
   \frac{1}{4} & \frac{1}{2} & 0  \\
   \frac{1}{8} & \frac{1}{4} & \frac{1}{2}  \\
\end{array} \right].\)



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