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標題: 98桃園縣國中聯招 [打印本頁]
作者: bugmens    時間: 2009-7-14 17:26     標題: 98桃園縣國中聯招

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2011.04.24補充
Q3、Q20、Q22
http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?f=46&p=5655

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作者: bugmens    時間: 2009-7-14 17:42

6.
設方程式\( x^8+a_7 x^7+a_6 x^6+...+a_1 x+a_0=0 \)之解集合為{1,2,3,4,5,6,7,8}，求\( a_6= \)？
(1)546　(2)586　(3)642　(4)648
[提示]
\( (1+2+3+4+5+6+7+8)^2=(1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+6^2+7^2+8^2)+2(兩兩相乘) \)

13.
\( \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(n+1) \sqrt{n+2}+(n+2) \sqrt{n+1}}= \)？
(1)\( \frac{\sqrt{2}}{2} \)　(2)1　(3)\( 2 \sqrt{2} \)　(4)2
[提示]
\( \displaystyle \frac{1}{(n+1) \sqrt{n+2}+(n+2) \sqrt{n+1}}=\frac{1}{\sqrt{n+1}}-\frac{1}{\sqrt{n+2}} \)

類似題
設\( \displaystyle a_n=\frac{1}{(n+1) \sqrt{n}+n \sqrt{n+1}} \)，試求\( a_1+a_2+...+a_{99}= \)？
(97台中高工)

設\( [\ x ]\ \)為不超過\( x \)的最大整數，例如\( [\ 1.99 ]\ =1 \)，\( [\ 2.1 ]\ =2 \)，\( [\ 7 ]\ =7 \)，求\( \displaystyle \Bigg[\ 30 \Bigg(\ \frac{1}{1 \sqrt{4}+4 \sqrt{1}}+\frac{1}{4 \sqrt{7}+7 \sqrt{4}}+\frac{1}{7 \sqrt{10}+10 \sqrt{7}}+...+\frac{1}{1999 \sqrt{2002}+2002 \sqrt{1999}} \Bigg)\ \Bigg]\ \)的值？
(香港培正中學數學邀請賽)

22.
通過橢圓\( \displaystyle \frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1 \)上兩點\( (0,-4) \)，\( \displaystyle (\frac{5 \sqrt{3}}{2},2) \)的直線L，將橢圓內部分割成兩個區域，試問較小區域的面積為？
(1)\( \displaystyle \frac{20 \pi}{3} \)　(2)\( \displaystyle \frac{25 \pi}{3}-\frac{25 \sqrt{3}}{4} \)　(3)\( \displaystyle \frac{20 \pi}{3}-\frac{25 \sqrt{3}}{4} \)　(4)\( \displaystyle \frac{20 \pi}{3}-5 \sqrt{3} \)
[解答]
將橢圓水平壓縮為原來的\( \displaystyle \frac{4}{5} \)倍
先計算附圖右邊弓形面積為\( \displaystyle \frac{16 \pi}{3}-4 \sqrt{3} \)
則原面積為\( \displaystyle \frac{5}{4} (\frac{16 \pi}{3}-4 \sqrt{3})=\frac{20 \pi}{3}-5 \sqrt{3} \)


101.6.19補充相同技巧一題
設\( Γ_1 \)：\( \displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2} \le 1 \)、\( Γ_2 \)：\( \displaystyle \frac{(x-a)^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2} \le 1 \)，其中\( a>b>0 \)，求\( Γ_1 \)與\( Γ_2 \)交集的區域面積為？
(101中正高中，https://math.pro/db/thread-1422-1-1.html)

101.10.2補充
平面上，由圖形\( \displaystyle \frac{x^2}{4}+y^2 \le 1 \)，\( \displaystyle y+1 \ge (\frac{\sqrt{2}}{2}+1)x \)，\( \displaystyle y+1 \ge -(\frac{\sqrt{2}}{2}+1)x \)所圍成區域之面積為何？
(100全國高中數學能力競賽　台中區複賽試題(二)，https://math.pro/db/thread-1349-1-1.html)

[ 本帖最後由 bugmens 於 2012-10-2 10:18 PM 編輯 ]

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作者: mandy    時間: 2011-5-9 21:28

謝謝!!
作者: martinofncku    時間: 2012-11-18 19:36

請問單一選擇題、第9題。謝謝！
作者: weiye    時間: 2012-11-18 20:12     標題: 回復 4# martinofncku 的帖子

單選第 9 題：


先觀察～\(\displaystyle \frac{3}{n^3},\frac{4}{n^3},\frac{5}{n^3},\cdots, \frac{n^3-3}{n^3}\) 共有 \(n^3-5\) 個分數（成等差）。

把題目的式子：

　　　　\(\displaystyle \frac{3}{n^3}+\frac{4}{n^3}+\frac{5}{n^3}+\cdots+\frac{n^3-5}{n^3}+\frac{n^3-4}{n^3}+\frac{n^3-3}{n^3}=60\)

前後顛倒寫一次～

　　　　\(\displaystyle \frac{n^3-3}{n^3}+\frac{n^3-4}{n^3}+\frac{n^3-5}{n^3}+\cdots+\frac{5}{n^3}+\frac{4}{n^3}+\frac{3}{n^3}=60\)

上面兩式相加可得

　　　　\(n^3-5=120\Rightarrow n=5\)



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