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標題: 請教一題最大值和最小值 [打印本頁]
作者: Isaac    時間: 2009-6-15 20:02     標題: 請教一題最大值和最小值

設\(f(x)=\sqrt{9-x^{2}}+\frac{4}{3}x\)，\(-3\leq x\leq 3\)，當\(x=\alpha \)時，\(f(x) \)有最大值M；當\(x=\beta  \)時，\(f(x) \)有最小值m，則(1)  \((\alpha , M)=?\)  (2) \((\beta , m)=?\)
作者: weiye    時間: 2009-6-15 21:14

令 \(x=3\cos\theta,\forall 0\le\theta\le\pi\)，則

\[f(x)=3\sin\theta + 4\cos\theta=
5\left(\frac{3}{5}\sin\theta+\frac{4}{5}\cos\theta\right)=5\sin\left(\theta+\phi\right).\]

其中，\(\phi\) 為銳角，且滿足 \(\displaystyle\cos\phi=\frac{3}{5},\;\sin\phi=\frac{4}{5}.\)



因為 \(0\le\theta\le\pi\)，所以 \(\phi\le\theta+\phi\le\pi+\phi\)




如上圖，即為 \(\theta+\phi\) 角度之範圍。


當\(\theta+\phi=\frac{\pi}{2}\) 時，\(\displaystyle\sin\left(\theta+\phi\right)=1\)， 此時 \(f(x)\) 有最大值 \(\displaystyle M=5\)，且
\[\theta=\frac{\pi}{2}-\phi \Rightarrow x=3\cos\theta=3\cos\left(\frac{\pi}{2}-\phi\right)=3\sin\phi=\frac{12}{5}.\]

亦即，題意之 \(\displaystyle\left(\alpha,M\right)=\left(\frac{12}{5},5\right).\)


當 \(\theta+\phi=\pi+\phi\) 時，\(\sin\left(\theta+\phi\right)=-\sin\phi=-\frac{4}{5}\)，此時 \(f(x)\) 有最小值 \(\displaystyle m=-4\)，且
\[\theta=\pi\Rightarrow x=3\cos\theta=3\cdot\left(-1\right)=-3.\]

亦即，題意之 \(\left(\beta,m\right)=\left(-3,-4\right).\)
作者: Isaac    時間: 2009-6-16 00:04

假設的地方不是很懂 為何採取cos 而非sin

為何角度不是\(0\leq \vartheta  \leq 2\pi\)  ?

[ 本帖最後由 Isaac 於 2009-6-16 12:07 AM 編輯 ]
作者: weiye    時間: 2009-6-16 08:40

問題一：為蝦咪取 \(\cos\) 而不取 \(\sin\) 呢？......其實都可以.

\(\cos\theta\) 在 \(\theta\in[0,\pi]\) 剛好是值域為 \([-1,1]\) 的

一對一對應且映成的函數 (One-to-One Correspondence，即 bijection).

如果要把一開始的 \(\cos\theta\) 改成 \(\sin\theta\) 也可以啦，

不過我就會改取定義域為 \(\theta\in[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]\)，

這樣剛好對應到值域為 \([-1,1]\) 的一對一對應且映成的函數.








問題二：為蝦咪定義域不放寬到 \(\theta\in[0,2\pi]\) 呢？............因為還要開根號。



如果取 \(x=3\cos\theta\) 時，則 \(\sqrt{9-x^2}=\sqrt{9-9\cos^2\theta}=3\left|\sin\theta\right|\)，

此時若 \(\theta\in[0,\pi]\)，則 \(\sin\theta\) 是非負的，所以可以直接去掉絕對值。

而在 \(\theta\in(\pi,2\pi)\) 時，\(\sin\theta\) 是負的，去絕對值還要加負號，

讓定義域變大一點，結果反倒導致了不必要的（討論去絕對值的）麻煩。


承問題一，如果取 \(x=3\sin\theta\) 時，則 \(\sqrt{9-x^2}=\sqrt{9-9\sin^2\theta}=3\left|\cos\theta\right|\)，

此時因為取 \(\theta\in[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]\)，所以 \(\cos\theta\) 是非負的，也可以直接去掉絕對值。
作者: Isaac    時間: 2009-6-16 12:52

謝謝  瑋岳老師  這樣子我明瞭了，放寬了定義域結果得到 最小值為-5的說



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