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標題: 98彰化高中 [打印本頁]
作者: weiye    時間: 2009-6-10 23:17     標題: 98彰化高中

Ex4. 如下圖，在 \(\triangle ABC\) 中，已知 \(\overline{AM}\) 為中線， \(\overline{AE}\) 為角平分線， \(\overline{AD}\) 為垂線，
若 \(\overline{AM},\overline{AE},\overline{AD}\) 等分角 \(\angle BAC\)，求 \(\angle BAM\)。（下圖並非按正確比例，僅供參考。）






Ex5. 平面上有一個四邊形 \(ABCD\)，已知 \(\triangle ABD\) 為正三角形，且 \(\overline{AC}=2,\overline{BC}+\overline{CD}=2\)，求四邊形 \(ABCD\) 面積。


Ex6. 在坐標平面上，過 \(A(2,0)\) 的直線交橢圓 \(\Gamma: 4x^2+y^2=4\) 於 \(B,C\) 兩點，且 \(O\) 為 \(\Gamma\) 的中心點，\(\angle BOC=90^\circ\)，求過 \(B,C\) 兩點之直線方程式。


Ex13. 求下列聯立方程式之實數解 \((x_1,x_2,x_3,x_4,x_5,x_6)\)，

\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
  {{{\left( {{x_3} + {x_4} + {x_5} + {x_6}} \right)}^5} = 4{x_1} + 4} \\
  {{{\left( {{x_4} + {x_5} + {x_6} + {x_1}} \right)}^5} = 4{x_2} - 4} \\
  {{{\left( {{x_5} + {x_6} + {x_1} + {x_2}} \right)}^5} = 4{x_3} + 4} \\
  {{{\left( {{x_6} + {x_1} + {x_2} + {x_3}} \right)}^5} = 4{x_4} - 4} \\
  {{{\left( {{x_1} + {x_2} + {x_3} + {x_4}} \right)}^5} = 4{x_5} + 4} \\
  {{{\left( {{x_2} + {x_3} + {x_4} + {x_5}} \right)}^5} = 4{x_6} - 4} \\
\end{array}} \right.\]


Ex15. 平面上有兩固定圓 \(O_1,O_2\)，及 \(O_1\) 上一定點 \(P\)，試作圖，作一圓以 \(P\) 為切點，且與 \(O_1,O_2\) 皆相切。
作者: bugmens    時間: 2009-6-11 06:39

Ex6.在坐標平面上，過\( A(2,0) \)的直線交橢圓Γ：\( 4x^2+y^2=4 \)於B,C兩點，且Ｏ為Γ的中心點，\( ∠BOC=90^o \)，求過B,C兩點之直線方程式

假設BC直線參數式為\( (2+t,mt) \)代入\( 4x^2+y^2=4 \)得\( (m^2+4)t^2+16t+12=0 \)
交點\( B(2+t_1,mt_1) \)，\( C(2+t_2,mt_2) \)得\( t_1+t_2=-\frac{16}{m^2+4} \)，\( t_1 t_2=\frac{12}{m^2+4} \)
又BO⊥CO，\( \frac{mt_1}{2+t_1}\cdot \frac{mt_2}{2+t_2}=-1 \)得到m
作者: 老王    時間: 2009-6-11 17:29

EX4
如果是在考場，就趕快設座標或是線段長去算
平時當然會想別的辦法，花了將近一個小時想出下面的作法

\( AC=AE \)
\( \displaystyle \frac{BM}{ME}=\frac{BA}{AE}=\frac{BA}{AC}=\frac{BE}{EC} \)
\( \displaystyle \frac{BM}{BM+ME}=\frac{BE}{BE+EC} \)
\( \displaystyle \frac{BM}{BE}=\frac{BE}{BC} \)
\( \displaystyle BE^2=BM*BC=2BM^2 \)
\( \displaystyle \frac{BM}{BE}=\frac{1}{\sqrt2}=\frac{BE}{BC} \)
所以若令 \( BM=1 \)
那麼 \( \displaystyle BE=\sqrt2 , BC=2 \)
\( \displaystyle ME=\sqrt2-1 \)
\( \displaystyle ED=\frac{2-\sqrt2}{2} \)
於是
\( \displaystyle \frac{AM}{AD}=\frac{ME}{ED}=\sqrt2 \)
故三角形AMD為等腰直角三角形
\( \angle MAD=45^o \)
\( \angle BAC=90^o \)

[ 本帖最後由 老王 於 2009-6-11 05:32 PM 編輯 ]
作者: 老王    時間: 2009-6-11 17:50

EX15阿波羅尼斯圓問題，如果以前沒看過，我覺得在考場要想出來的機率不到百分之十

[作法]:
1. 作直線\( O_1P \)
2. 以P為圓心，圓\(O_2\)的半徑畫圓，交直線\( O_1P \)於C，D兩點
3. 連接\( O_2C \)並作其中垂線，交直線\( O_1P \)於A
4. 以A為圓心，AP為半徑畫圓即為所求
5. 連接\( O_2D \)並作其中垂線，交直線\( O_1P \)於B
6. 以B為圓心，BP為半徑畫圓亦為所求

證明應該很容易

[ 本帖最後由 老王 於 2009-6-11 08:36 PM 編輯 ]

圖片附件: 98彰中EX15.JPG (2009-6-11 17:50, 40.41 KB) / 該附件被下載次數 6408
https://math.pro/db/attachment.php?aid=61&k=490da554ccb1b495ac03abf9311fa27d&t=1732298763

作者: weiye    時間: 2009-6-11 17:58

第五題我打錯了，是 \(\triangle ABD\) 為正三角形，

已修正，感謝。

^__^
作者: 老王    時間: 2009-6-11 20:35

EX5
\( \displaystyle AC*BD=2*BD=(BC+CD)*BD=BC*AD+CD*AB \)
由托勒密逆定理知ABCD為圓內接四邊形
\( \displaystyle (ABCD)=(ABC)+(ACD)=\frac{1}{2}(BC*2*sin60^o+CD*2*sin60^o)=\sqrt3 \)

如果是填充題，把C放在B或是D，答案就出來了

[ 本帖最後由 老王 於 2009-6-12 07:28 AM 編輯 ]
作者: bugmens    時間: 2009-6-17 20:54

ex4.補個出處
△ABC的中線\( \overline{AM} \)、角平分線\( \overline{AE} \)、和高\( \overline{AD} \)將\( \angle BAC \)分成4等分，求\( \angle BAC \)的大小。(請詳加說明理由)
(建中通訊解題第6期)
居然是國中生就會的題目而且還有三種解法,實在令人汗顏。
作者: 老王    時間: 2009-6-18 18:13     標題: 回復 7# bugmens 的帖子

基本上這類問題，只要有純幾何解法，就能丟給國中生作
建中通訊解題的目的，是在於提早發現優秀的國中生，好讓他們在進建中之前能得到一些指導
而這些人以後有可能成為IMO的選手，所以不必太在意
而且考試有時間限制，平常則沒有，像我，在考試時是不可能花一個小時去想的
說實在的，一開始我是畫出解法一的圖去思考，結果格了半天格不出來，總覺得要用同一法

個人認為考試時還是依賴解析幾何較佳
作者: idontnow90    時間: 2009-6-19 17:08     標題: 請問有完整的題目嗎

我到彰中網站查似乎沒看到...不知道是否有放過而拿下來了?請問有老師有完整的題目嗎?謝謝分享~
作者: weiye    時間: 2009-6-21 11:39

於考試後，彰中並沒有公佈題目。 :-)
作者: 老王    時間: 2009-6-29 20:59

今天在找別的題目時，赫然發現EX13出自全國數學能力競賽決賽筆試第六題
將所附的參考解答列出，基本想法跟鋼琴老師的差不多
有請教過本校一位曾得過IMO銀牌的老師，他的作法與參考解答一開始的步驟是相同的
可以了解自己的能力差人家許多

令\( y_1=x_1+1,y_2=x_2-1,y_3=x_3+1,y_4=x_4-1,y_5=x_5+1,y_6=x_6-1 \)
原方程式變成
\(
\left\{ \begin{align}
(y_3+y_4+y_5+y_6)^5=4y_1                          (1)  \\
(y_4+y_5+y_6+y_1)^5=4y_2                          (2)  \\
(y_5+y_6+y_1+y_2)^5=4y_3                          (3)  \\
(y_6+y_1+y_2+y_3)^5=4y_4                          (4)  \\
(y_1+y_2+y_3+y_4)^5=4y_5                          (5)  \\
(y_2+y_3+y_4+y_5)^5=4y_6                          (6)  
\end{align}
\right. \)
不妨設\( y_1 \)是最大的，由(1)與(2)得到
\( (y_3+y_4+y_5+y_6)^5=4y_1 \geq 4y_2=(y_4+y_5+y_6+y_1)^5 \)
因此 \( y_3+y_4+y_5+y_64y_1 \geq y_4+y_5+y_6+y_1 \)
於是 \( y_3 \geq y_1 \)，故 \( y_3=y_1 \)
同理由(3)(4)可以得到 \(y_5=y_3 \)，故 \(y_1=y_3=y_5 \)
又由(4)(5)得
\( (y_1+y_2+y_3+y_4)^5=4y_5 \geq 4y_4=(y_6+y_1+y_2+y_3)^5 \)
\( y_1+y_2+y_3+y_4 \geq y_6+y_1+y_2+y_3 \)
\(y_4 \geq y_6 \)
同樣方式可以推得\( y_4 \geq y_6 \geq y_2 \geq y_4 \)
故\( y_2=y_4=y_6 \)
將所得結果都代入(1)(2)
\(
\left\{ \begin{align}
2^5(y_1+y_2)^5=4y_1                          (7)   \\
2^5(y_1+y_2)^5=4y_2                          (8)  
\end{align}
\right. \)
故\(y_1=y_2 \)，也就是\(y_1=y_2=y_3=y_4=y_5=y_6 \)，代入(1)
\( 4^5y_1^5=4y_1 \)
\( 4y_1(4y_1-1)(4y_1+1)[(4y_1)^2+1]=0 \)
\( \displaystyle y_1=0, \frac{1}{4}, \frac{-1}{4} \)
所求之解為
\( \displaystyle (x_1,x_2,x_3,x_4,x_5,x_6)=(-1,1,-1,1,-1,1),(\frac{-3}{4},\frac{5}{4},\frac{-3}{4},\frac{5}{4},\frac{-3}{4},\frac{5}{4}),(\frac{-5}{4},\frac{3}{4},\frac{-5}{4},\frac{3}{4},\frac{-5}{4},\frac{3}{4}) \)

[ 本帖最後由 老王 於 2009-6-29 09:15 PM 編輯 ]



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