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標題: 97附中第二次填第12題 [打印本頁]
作者: ksjeng    時間: 2009-3-13 16:21     標題: 97附中第二次填第12題

模的題目
在密碼學中，對於英文，人們將26個字母按順序分別對應整數0到25。現有4個字母構成的
密碼單詞，記4個字母對應的數位分別為x(1),x(2),x(3),x(4)。已知：整數x(1)+2x(2),3x(2),x(3)+2x(4),3x(4)除以26的餘數分別為9，16，23，12，則密碼的單詞是？

註( )中的數字表示下標

此提示在考模的題目
答案是HOPE
很漂亮的題目
請問此題命題來源為何
作者: weiye    時間: 2009-3-13 17:33

引用:
原帖由 ksjeng 於 2009-3-13 04:21 PM 發表
模的題目
在密碼學中，對於英文，人們將26個字母按順序分別對應整數0到25。現有4個字母構成的
密碼單詞，記4個字母對應的數位分別為x(1),x(2),x(3),x(4)。已知：整數x(1)+2x(2),3x(2),x(3)+2x(4),3x(4)除以26的餘數分別為9，16，23，12，則密碼的單詞是？

註( )中的數字表示下標

此提示在考模的題目
答案是HOPE
很漂亮的題目
請問此題命題來源為何
已知
\[x_1 +2x_2 \equiv 9 \pmod{26} ......（1）\]
\[3x_2 \equiv 16 \pmod{26} ......（2）\]
\[x_3 +2x_4 \equiv 23 \pmod{26} ......（3）\]
\[x_4 \equiv 12 \pmod{26} ......（4）\]

先找尋 \(3\) 的乘法反元素，先找尋 \(3x+26y=1\) 的任何一組整數解，

（可以利用 \(3\) 跟 \(26\) 作輾轉相除法，或是尤拉法，或是直接聯想都可以）

解得 \(3\times 9 + 26\times \left(-1\right) =1\) ，因此

\[3\times 9 \equiv 1 \pmod{26}\]

也就是找到了 \(\pmod {26}\) 的完全剩餘系統（complete residue system）中， \(3\) 的乘法反元素是 \(9\)，

在（2）與（4）中，左右同時乘上 \(9\)，可得
\[ 27 x_2 \equiv 144 \pmod{26} 　⇒　 x_2 \equiv 14 \pmod{26}\]
\[27 x_4 \equiv 108 \pmod{26} 　⇒　 x_4 \equiv 4 \pmod{26}\]

再帶入在（1）與（3）中，可得
\[x_1 \equiv 9 -2 x_2 \equiv -19 \equiv 7 \pmod{26}\]
且
\[x_3 \equiv 23 -2x_4 \equiv 15 \pmod{26}\]

因此，可得 \(x_1, x_2, x_3, x_4 \pmod{26}\) 分別同餘到 \(7,14,15,4\)

也就是，對應到字母 \(h, o, p, e\).




以上是利用整數論中的同餘，來解題的。
作者: ksjeng    時間: 2009-3-13 21:18

數論功力果然深厚
我是使用
若a≡b(mod m)則m|a-b的定理
作者: ksjeng    時間: 2009-5-21 23:53     標題: 97師大附中第二次

2.
平面上的格子點(\(x,y\)座標均為整數的點)到直線\(\displaystyle y=\frac{5}{3}x+\frac{4}{5}\)的距離中最小值為　　　。
請教如何解題

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https://math.pro/db/attachment.php?aid=48&k=0d5bbf1a6fd551abf793cff9c5c34223&t=1713898487
作者: ksjeng    時間: 2009-5-22 01:50     標題: 97師大附中第二次

我設法畫出梯形後就卡住了
題目的所求應改為線段BC=8吧?

在四邊形ABCD中，\( \overline{AD}// \overline{BC} \)，\( ∠D=2∠B \)，\( \overline{AD}=3 \)，\( \overline{CD}=5 \)，則\( \overline{AD}=8 \)。
作者: weiye    時間: 2009-5-22 09:10

在四邊形 \(ABCD\) 中，\(AD//BC,\;\angle D = 2\angle B,\;\overline{AD}=3,\;\overline{CD}=5\)，則 \(\overline{AB}\)＝？


或許題目寫錯了吧。 ^__^
作者: ksjeng    時間: 2009-5-23 08:10

老師好
經過您與亞斯老師的確認
都認為題目出錯了
我心中大石就可以放下了
謝謝您喔
作者: ksjeng    時間: 2009-5-23 08:22

經亞斯老師協助
使用\(ax+by=(a,b)\)時有整數解來解題
謝謝老師們無私的付出
作者: shingjay176    時間: 2014-5-2 08:47     標題: 回復 2# ksjeng 的帖子

這題目該如何下筆？寸絲講義的提示是\(5x-3y-4=0\)

剛剛算出來了。。晚點空堂，把答案貼上來。

圖片附件: IMG_20140502_111907.JPG (2014-5-2 11:19, 179.82 KB) / 該附件被下載次數 5412
https://math.pro/db/attachment.php?aid=2182&k=35726550d37ee4dbde29c15a0ada900a&t=1713898487

作者: tsusy    時間: 2014-5-3 08:00     標題: 回復 3# shingjay176 的帖子

一個筆誤，我把常數項不小心寫錯了

應為 \( 5x - 3y + \frac{12}{5} =0 \)，因 3,5 互質，可得 \( 5x-3y \) 的取值範圍為所有整數

故所求 = \( \displaystyle \frac{\frac25}{\sqrt{5^2+3^2}} = \frac{\sqrt{34}}{85}\)
作者: satsuki931000    時間: 2021-1-23 00:51

借串貼個原檔案及個人算的一些答案
另外想請問第3題
1.(12,2)
3.
4.\(\displaystyle \frac{\sqrt[3]{7}}{2} \)
5. 6
6.\(\displaystyle \frac{1}{3} \)
7.\(\displaystyle \frac{10}{\sqrt{3}} \)
8.\(\displaystyle \frac{(n-1)(n-2)}{2} \)
9. 2
10. 71
11. \(\displaystyle \frac{4}{3} \)
12.HOPE
13.\(\displaystyle \frac{2007}{2} \)
14.\(k>1,k \neq 3 \)
15.C

計算1.(B)無

3.\(a=15,b=-16 \)
\(\alpha=1 \)

110.01.23版主補充
將當年題目和答案附上。

[ 本帖最後由 satsuki931000 於 2021-1-24 13:51 編輯 ]
作者: thepiano    時間: 2021-1-23 11:29     標題: 回復 5# satsuki931000 的帖子

版主有提供答案了，您可以對一下

第 3 題
AB 不是定值，應是求 BC，才會符合官方給的答案 8
作者: tsusy    時間: 2021-1-23 11:39     標題: 回復 5# satsuki931000 的帖子

3. 題有誤，非定值
如下圖
D 可在圓上移動
C 可在圓上移動
CB 直線平行 AD
DE 為 \( \angle ADC \) 之分角線
AB 直線平行 DE
移動 C, D，可觀察出 AB 長非定值

5. 6
10. 71

圖片附件: 97師大附中3.png (2021-1-23 11:39, 13.67 KB) / 該附件被下載次數 3465
https://math.pro/db/attachment.php?aid=5723&k=b11ea7b7dbbed997b4779ebf7c29061b&t=1713898487

作者: satsuki931000    時間: 2021-1-24 13:52

感謝兩位老師的幫忙與指正



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