標題: 請教一軌跡問題 [打印本頁]

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作者: arend    時間: 2009-5-14 00:31     標題: 請教一軌跡問題

在圓x^2+y^2=9上任取一點C, 過C作圓的切線L1, 過點A(3,0)作此切線L1的垂線L2, 點B(-3 , 0)連BC射線交L2於P點, 求動點P的軌跡方程式

謝謝

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作者: weiye    時間: 2009-5-14 11:25

引用:

原帖由 arend 於 2009-5-14 12:31 AM 發表
在圓x^2+y^2=9上任取一點C, 過C作圓的切線L1, 過點A(3,0)作此切線L1的垂線L2, 點B(-3 , 0)連BC射線交L2於P點, 求動點P的軌跡方程式

謝謝

若 \(C\) 與 〝\(A\) 或 \(B\)〞 都不是同一點.

Part 1:

以下欲證明 \(\overline{AP}=\overline{AB}\)，亦即要證 \(\angle CBA = \angle CPA.\)

如下圖，設 \(D\) 為 \(L_1\) 與 \(L_2\) 的交點，連 \(\overline{AC}\)，則

在 \(\triangle ACD\) 中，因為 \(\angle ADC=90^\circ\)，所以 \(\angle ACD = 90^\circ - \angle CAD.\;..........(1)\)

在 \(\triangle ACP\) 中，因為 \(\angle ACP=\angle ACB =90^\circ\)，所以 \(\angle CPA = 90^\circ - \angle CAP.\;........(2)\)

由 \((1), (2)\)，可得 \(\angle CPA = \angle ACD\)，且因為 \(\angle ACD= \frac{1}{2} {\frown \atop {AC}}.\) （弦切角）

所以， \(\angle CPA =\frac{1}{2} {\frown \atop {AC}}.\;........ (3)\)

而 \(\angle CBA=\frac{1}{2} {\frown \atop {AC}}\) （圓周角）\(........(4)\)

由 \((3),(4)\)，可得 \(\angle CBA = CPA \;\Rightarrow\; \angle APB\) 為等腰三角形，得 \(\overline{AP}=\overline{AB}.\)

亦即 \(P\) 在〝以 \(\overline{AB}\) 為半徑，以 \(A\) 為圓心的圓〞之圓周上.


Part 2:

反之，設 \(P\) 為〝以 \(\overline{AB}\) 為半徑，以 \(A\) 為圓心的圓〞之圓周上之任意點，

且 \(P\) 異於 \(B\) 與〝\(B\) 對於 \(A\) 的對稱點〞.


連接 \(\overline{CB}\) 使之交已知小圓於 \(C\)，過 \(C\) 作 \(\overline{CD}\) 垂直 \(\overline{AP}\) 於 \(D\) 點，

（下寫的比較簡略）

可得 \(\angle DCA = \angle CPA =\angle CBA = \frac{1}{2} {\frown \atop {AC}}\)，

亦即 \(\angle DCA\) 為弦切角 \(\Rightarrow\; \overleftrightarrow{CD}\) 為切線.

故，〝以 \(\overline{AB}\) 為半徑，以 \(A\) 為圓心的圓〞之圓周上的任意點，

只要異於 \(B\) 與〝\(B\) 對於 \(A\) 的對稱點〞，都會滿足題目要求的 \(P\) 的條件.







若 \(C\) 可為 \(A\) 或 \(B\)，則分別可得 \(P\) 為 \(B\) 與〝\(B\) 對於 \(A\) 的對稱點〞.

故，\(P\) 點軌跡圖形為〝以 \(\overline{AB}\) 為半徑，以 \(A\) 為圓心的圓〞.

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作者: arend    時間: 2009-5-14 19:55

謝謝瑋岳老師提供這麼精彩的幾何解

裡面有些疑惑想請教老師一下
為何----在 ΔACP 中，

∠ACP=∠ACB


謝謝

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作者: weiye    時間: 2009-5-14 20:07

因為 \(\overline{AB}\) 是直徑，所以 \(\angle ACB = 90^\circ\) （半圓的圓周角），

\(\Rightarrow \; \angle ACP = 180^\circ - \angle ACB = 90^\circ\)，

所以 \(\angle ACP = \angle ACB.\)

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作者: 老王    時間: 2009-5-18 20:41

何不將C點和AB中點(圓心)連接起來

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作者: weiye    時間: 2009-5-18 21:30

引用:

原帖由 老王 於 2009-5-18 08:41 PM 發表
何不將C點和AB中點(圓心)連接起來

好方法，將 \(C\) 與 \(\overline{AB}\) 的中點(稱 \(O\)) 連起來，

因為 \(\overline{CO}\perp L_1\) (\(L_1\) 為切線) 且 \(L_2 \perp L_1\)，

所以 \(\overline{CO}//\overline{AP}\)，

且因為 \(O\) 為 \(\overline{AB}\) 的中點，

則 \(\overline{AP} = 2 \overline{CO} = \overline{AB}.\)


^__^

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作者: 老王    時間: 2009-5-19 16:45

啊，這樣是很好啦，不過我原本的意思是
BP=2BC
所以這是一個以B為心，放大率為2的相似變換

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