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標題: 圓錐曲線中求極值 [打印本頁]

作者: arend 時間: 2009-5-7 18:02 標題: 圓錐曲線中求極值

二元二次方程式:\(x^2+xy+y^2=6\) , 求\(x^2-y^2\)的最大值
答案是\(4\sqrt{3}\)
版上的老師可幫忙解一下嗎?那最小值又為何?

謝謝

作者: weiye 時間: 2009-5-7 18:45

引用:

原帖由 arend 於 2009-5-7 06:02 PM 發表
二元二次方程式:x^2+xy+y^2=6 , 求x^2-y^2的最大值
答案是4sqrt(3)
版上的老師可幫忙解一下嗎?那最小值又為何?

謝謝

令 \(x=u+v,\, y=u-v\)，則

\[x^2+xy+y^2=6\]
\[\Leftrightarrow \left(u+v\right)^2+\left(u+v\right)\left(u-v\right)+\left(u-v\right)^2=6\]
\[\Leftrightarrow 3u^2+v^2=6\, ............... （＊）\]

且題目所要求的 \(x^2-y^2 = \left(u+v\right)^2 - \left(u-v\right)^2 = 4uv\)

由（＊）及算幾不等式，可得

\[\frac{3u^2 + v^2}{2}\geq \sqrt{3u^2v^2}\]
\[\Leftrightarrow \frac{6}{2}\geq \sqrt{3}\left| uv \right|\]
\[\Leftrightarrow -\sqrt{3} \leq uv\leq \sqrt{3}\]
\[\Leftrightarrow - 4 \sqrt{3} \leq 4uv\leq 4\sqrt{3}\]

所以，題目所要求的最大值為 \(4\sqrt{3}\)，最小值為 \(-4\sqrt{3}.\)

作者: arend 時間: 2009-5-7 21:14

謝謝瑋岳老師的妙解

小弟是用幾何來看, 令x^2-y^2=k
再來用"參數式"或"共切線"來解,答案都怪怪的

不知版上老師能否提供"幾何解"妙解

不過在此還是謝謝瑋岳老師不吝告知

作者: jisam 時間: 2009-7-28 17:09

令 x=u+v y=u-v

請問為何會這樣令呢有跡可尋嗎

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